CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

les variables canoniques (^i, y^, . . ., yn—i.-< ')■> ^^ forme w«i, qui fig-ure dans un invariant intégral d'ordre n — i, s'écrit en efiFet

Tn^j et ra„2 étant des formes de deerré n — i et n — 2 respectivement, qui ne renferment que les variables y^, . . ., y^—i' et leurs

différentielles, tandis que l'équation X(y^ = o se réduit à -^ = o .

Siyest une fonction quelconque de //i, y^, . . ., y,i i, on a identiquement ci„jrf/=o, {m,,^f)'=o, et par suite (w„i/)'=(nj^2/)'rf^. Toute intégrale de l'équation linéaire du premier ordre {ts^^^J')'=o^ indépendante de £, est donc un multiplicateur pour w„i. On voit

de même que les deux équations u^^^df= o,— = o admettent n — 2 intégrales communes distinctes.

Remarque. — Nous avons supposé que les deux équations X(y")=:o, A(y)=:o sont distinctes, c'est-à-dire que tous les rapports^ ne sont pas égaux. Si tous ces rapports sont ésraux, on a

w,.^ = KQ„^, Q„j étant la forme définie plus haut, A(/) = KX(/), et la condition (12) devient

X(K)-fHK = o;

elle exprime que K est un multiplicateur pour le svstème (2^, et nous retrouvons les invariants intégraux I„j considérés tout d'abord.