Invariants du premier ordre. — Soit
une forme de Pfaff dont les coefficients A, sont des fonctions des n variables jc^, x,, . . ., x^, indépendantes de t. Pour que l'intéarrale
l^= I ùi soit un invariant intégral absolu du système (2), les coefficients Aj doivent satisfaire aux n relations
(,3) X(A.-) + A,^ + . . . + A,g =0, (>= I, 2, •..., n) G. Prob. i5
que l'on peut établir directement, ou qui se déduisent des conditions g-énérales (i i), quand on y suppose p = i.
Ces conditions permettent de vérifier facilement que
A,X, + A2X2+...+A,X,=Gte ■
est une intégrale première du système (2), théorème dû aussi à H. Poincaré, et qui sera rattaché plus tard à une proposition plus générale (n° 63).
Lorsque l'invariant intégral a été ramené à une forme canonique, les conditions (i3) prennent une forme simple, qui conduit à un élégant théorème dû à M. Kœnigs (^). Supposons d'abord que la forme w soit de classe impaire 2p -\- 1 <^ n ; si l'on a pris un système de variables y, y^, ..., ij^, z^, z^, ..., z^, u^, ..,, Uq (2/) 4- ^ -(- I = n) tel que w prenne la forme canonique
oi=Zidy^-\- ... -]-Zpdy^ + dy,
le système (2) est remplacé par un système équivalent
di/ dj/i di/j) rfzj dz2 dui du
(ï4) Y — Y, Yp— Z,~ Zp~Ui Vq
où Y, Y^,...,Yp,Z^^, ...,Z/), U^, ...,Uy sont des fonctions des variables y, yt, Zh, Uh et de t.
Pour exprimer que l'intégrale
(i5) h= j Zidy^+ ... +z^dyp-\-dy
est un invariant intégral {^) absolu du système (i4), observons que la forme n. qui figure dans l'expression de la dérivée
dl dt
'-= fa
prend dans ce cas une forme particulièrement simple
il = c/Y + Z,dy^ + . . . + Z^dy^ + z,dY, + . . . + z^dY^.
(1) Comptes Rendus, tome CXXI, p. 8j5, g décembre j8g5.
(*) La liaison entre ce problème et la recherche des transformations de contact infinitésimales est évidente (voir Sopiius Lie, Théorie der Transformalionsgruppen, tome II).
CBAPITRE V. — lNYARIAi<TS INTÉGRAUX. 227
Pour que I^ soit un invariant intégral, les fonctions Y, Y/, Z* doivent donc vérifier les n relations
^y /^ ^y ^yi /^ ^y
&Y , V î>Yft 3Y , v* ^^'^ 1-7 5* =0, h 7 -fc =0,
On satisfait d'une façon très élégante à ces conditions en introduisant la fonction auxiliaire.
(17) H = 2--*Yft4-Y;
les 2/) équations qui suivent la première deviennent On a ensuite
et, en substituant ces expressions dans la première et dans les q dernières relations (16), elles deviennent
(19) ^=«' ^,^''- (^'^'-^'---y)- Le système (i4) est donc de la forme
^^^' dt ~ ^zi • dt—~ Tyyi '
^ ^ rf/ — '"" •••' dt — ^?'
H étant une fonction quelconque de l/i,---,!/p, s^. Sp et de /. ne
228 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
renfermant pas les variables y, Mj, ..., Uq, et les fonctions IJ/j étant arbitraires. Ce système (i4) est donc ramené au système canonique (20) suivi des équations (21) et (22). En particulier, si n=L2p -\- I , le système (22) disparaît.
Lorsque la forme w est de classe 2/), on peut de même choisir 2p -{• q=n variables de façon que l'invariant I^ ait la forme canonique
\, = j z,dy, + ...-{- z^dij^,
le système d'équations différentielles (i4) étant remplacé par le suivant
, ,,x dy^^ dj/p^ ihi dz£ flu^ dug
^ ^^ Yi Yp— Zi Zp — U, 117 — ^^'
les dénominateurs Y,, Z/,-, Ua étant des fonctions des variables iji,
zii, u/i et de t. Pour obtenir l'expression de -jp , il est inutile de
recommencer le calcul ; il suffit évidemment de supprimer les termes qui renferment Y et y dans l'expression obtenue plus haut. Les conditions (16) sont alors remplacées par les suivantes
P Si l'on pose H = ^ Sk^k, elles deviennent
