CHAPITRE V. IXTABIAXrS INTÉGRAUX

OÙ les Ua sont quelconques. La fonction H ne dépend que des 2/» variaJbles yu Zi, et vérifie la relation

*=1 c'est donc une fonction homogène et du premier desrré des si.

Du théorème de M. Kœniars on déduit très aisément un important théorème de H. Poincaré. Considérons un système canonique quelconque

, ,. dyi m d:, :H

où H est une fonction arbitraire des yi. des r,. et de t. Si on lui

adjoint l'équation

' dt ^ yyk

nous venons de voir que l'intégrale

'i^^i + ^i^y* + . . . 4- Spdy^ -h dy

est un invariant intésrral absolu du système formé par les équations (28) et (24). On en déduit que l'intégrale obtenue par l'opération (D) (n« 54)

Iî= j dy.ds, + dy^dz^ ^ . • . + dy^dz^

est aussi un invariant intéarral du même système, et, comme la variable y ne figure, ni dans l'invariant Ij. ni dans les équations (28), on en conclut que I, est un invariant intégral pour le système canonique (Cf. n» 62).

59. Composition des invariants intégraux. — Si les deux intéarrales" / w, I 73, où w et ni sont deux formes symboliques du même desrré, sont des invariants intésrraux d'un système d'équations

diflerentielles, il est clair que l'intégrale 1 Cw + C'cr est un invariant

intégral du même système, quelles que soient les constantes C, C.

Connaissant deux invariants de degrés quelconques, 1 wP, / w^

du même système, on peut en déduire un nouvel invariant par une multiplication symbolique.

Supposons d'abord que les dénominateurs X/ du système d'équations différentielles

ne dépendent pas de t. On peut alors, par un chang-ement de variables portant uniquement sur les variables a:/, ramener ce système à une forme canonique

Soient w^, wy deux formes symboliques, de deg'rés p ei q respectivement, en dx^^ ..., dx^, telles que les intégrales !/)= 1 w^,

\qz=z j (ùq soient deux invariants intég-raux du système (25). Après

le chang-ement de variables qui ramène le système (aô) à la forme canonique (26), ces formes symboliques w^, o)ç se transforment en deux nouvelles formes symboliques iip, Liq, dont les coefficients ne renferment pas 5 (n''55). Il en est évidemment de même du produit

symbolique %,%, et par conséquent | D.p<lq est un invariant inté-

g-ral absolu du système canonique (26). L'intég'rale 1 w^w^ est donc

aussi un invainant intég-ral du système (26), et nous pouvons énoncer le théorème suivant, que H. Poincaré a déduit, par une analyse savante, mais difficile à suivre, de l'étude des équations aux variations.

Si les deux intégrales I w^, / w^ sont deux invariants inté-