CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAIIX

graux absolus du système {20), Uintégrale j wpotq est un invariant intégral absolu du même système.

Le même raisonnement prouve que, siy = Cest une intéerrale

première indépendante de / et I w un invariant intég^ral, 1 /co est

aussi un invariant intégral. En effet, par le changement de variables précédent,y s'exprime au moyen des variables y/, et la forme fui se chanare en une forme FQ, qui ne contient pas z.

Le théorème s'étend aussi aux systèmes 1^20;, dont les dénominateurs X/. ou du moins quelques-uns, renferment la variable/ ; on -suppose toujours que top, w^ sont indépendants de t. Nous avons remarqué en effet que les conditions (i i) qui expriment que

<^iq sont des invariants intégraux ne renfermant aucune

dérivée partielle des X/ par rapport à ^ Si ces conditions sont vérifiées, les intégrales f Wp, I co^ sont des invariants intégraux du système (20), où l'on aurait remplacé, dans les X,, t par une constante quelconque. Les conditions qui expriment que 1 w^wy est un invariant intégral sont donc des conséquences des équations qui expriment que I Wp et 1 wq sont des invariants intégraux,

puisqu'il en est ainsi quand on donne à / une valeur constante quelconque dans les X,.

Il est clair que le théorème s'étend au produit symbolique d'un nombre quelconque de formes symboliques w^, wy, w^, ..., qui figurent dans les expressions des invariants absolus. L'énoncé n'exige pas non plus que toutes ces formes soient différentes. De

tout invariant absolu | w^, on déduira de nouveaux invariants

représentés symboliquement par I (wp)^, I (wp)', ... Tous ces

invariants sont nuls si p est impair.

Connaissant un ou plusieurs invariants intég'raux du système

(26), si l'opération précédente permet d'en déduire un invariant intégral d'ordre n, on aura un multiplicateur du système. Si, en procédant d'une autre façon, on peut en déduire un autre invariant d'ordre n, le quotient de ces deux multiplicateurs donnera une intég-raledu système, pouvant d'ailleurs se réduire à une constante. Supposons, par exemple, que l'on connaisse un Invariant intég-ral

du second ordre Ig^ / Wj d'un système de an équations, la puissance symbolique («2)" n'étant pas nulle, et en outre deux intégrales y^, /g de ce système. L'intég-rale 1^^= / {<^^'"' est un invariant intég-ral d'ordre n, ainsi que l'intég-rale

Le quotient des deux formes symboliques

est donc une nouvelle intég-rale du système proposé.

Le théorème classique de Poisson n'est qu'un cas particulier de cette remarque. Supposons que le système considéré soit un système canonique

, . dxi ?H dpi MI - . .

(=7) nt^ij;!' ir=-—, ('=■.=.-.«)•

Ce système admet l'invariant intégral (n» 58) :

I2 = / 0)2 = / 2 dxidpi.

La puissance symbolique (wj)" est identique à n\dx^dp^...dx^dp^, et par conséquent le système (27) admet pour multiplicateur l'unité, comme il est bien connu. D'autre part, si/"^ et f^ sont deux

intégrales de ce système, I {'^^'^~^df\df^ est aussi un invariant intégral d'ordre n. Or le produit symbolique sous le sig-ne inté-