CHAPITRE I. — FORHfô CAN0!«1QUES
Posons, comme plus haut,
et, en outre,
<-'«=[if)..t+(fL>.
nous avons pour, expression générale de S\
aikdœiâxk
Remarquons que (Aa?,)^, (Aj?2)j, ..., (Aa7r.)o représentent les composantes du déplacement infiniment petit de l'orig-ine du chemin d'inté- ^ation quand on fait varier « de Sk, et (Aa?,)i, (Aar^),, ..., (AxJ, ont une signification analogue. Si donc on fait varier le chemin d'intégration sans changer les extrémités, le terme tout intégré disparait, et la formule générale qui donne 9I se réduit à
ol = I ^ y^aikdxi^JCh = I w'.
Jr^ k Jr
Supposons maintenant que l'on effectue un changement de variables
a?/ = fiiyi.yi, ...,yn) {1=1,2, ..., n),
la forme linéaire w se change en une nouvelle forme linéaire de différentielles
wi = Yi</yi + ... ~ ^ndljMt
Yj. . . ., Y,i étant des fonctions de y^, y*, . . ., y^, et l'intégrale I, prise le long d'une courbe F dans l'espace {xi, x,, ..., Xn), se change en une intégrale
V = \\dyi + Yidy, + . . + Yndyn = / «,
prise le long de la courbe r' de l'espace {yi, y», ..., y„), qui correspond à la courbe F de l'espace {xt, x^, ..., Xjt) par les formules de transformation. De l'égalité I := I', on déduit que les premières variations sont égales, ol r= oV . Mais on peut calculer ôV de deux façons, soit en partant de l'expression générale de jI, ce qui donne
oT- / y\ y.^i'^-^iyi^yk, bik = p^
-yîi ^ya
LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
soit en appliquant la formule générale du changement de variables à l'intégrale âl, et remplaçant en même temps la variation rJxi par
En égalant ces deux expressions de (?!'> on a donc
bikdijiSijk.
c'est-à-dire w' z=z w'j.
La condition w' zr o peut aussi s'interpréter géométriquement. Prenons d'abord une forme à trois variables que nous écrirons
w = P {x, y, z) dx + Q {x, y, z)dy ^ K {x, y, z) dz ; la relation w' =z o peut s'écrire sous forme de déterminant
&R dQ
DP DR
D5 Da;
?J7 Dy
dx
dy
rfr
Elle exprime que le plan passant par les deux éléments linéaires (^dx, dy, dz) {Sx, Sy, Sz) contient le vecteur issu du point [x, y, r)dont les composantes sont
DR dQ ^^ ^^Z
Dy Dz ' Dr 7>x' Da; 7:^y '
ou vecteur-tourbillon du vecteur (P, Q, R) ; donc, pour que deux éléments linéaires soient en involution, il faut et il suffit que le plan déterminé par ces deux éléments contienne le vecteur-tourbillon.
Il est facile d'en déduire la condition d'intégrabilité de l'équation w =r o. Supposons en effet les axes rectangulaires ; toute surface intégrale passant en un point {x, y, z) de l'espace doit être normale au vecteur (P, Q, R) issu de ce point. Mais deux éléments linéaires quelconques du plan tangent doivent être en involution, et par suite ce plan doit passer par le vecteur-tourbillon. Donc le vecteur-tourbillon et le vecteur (P, Q, R) doiyent être orthogonaux ; c'est précisément la condition d'intégrabilité.
On peut donner une autre interprétation, en considérant [dx,dy, dz) et {Sx, Sy, Sz) comme les coordonnées homogènes de deux points dans un même plan. La condition &/ = o exprime aussi que la droite qui joint ces deux points passe par le point dont les coordonnées homogènes sont égales aux composantes du vecteur-tourbillon.
Considérons maintenant une forme à n variables, et deux éléments linéaires [dx^, . . ., dx,i), {Sxi, . .., Sx,) issus d'un même point. Soient
