CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

arral est ég-al, à un facteur constant près [n'^ 42), à {J^./,)dx^dp^... dxndpn, la parenthèse {/i,/^) ayant le sens habituel. L'expression {fi^fù ^*' donc une intégrale du système {2j). Les g-énéralisations bien connues du théorème de Poisson s'établissent de la même façon.

On pourrait évidemment imaginer un grand nombre de combinaisons d'invariants intégraux conduisant à des théorèmes analosi-ues au théorème de Poisson ; nous n'examinerons que lune d'elles. Supposons que l'on connaisse un invariant intégral

I^j= I (^n—i *iu système (aô), où les X, ne dépendent pas de /, et une intésrrale J de ce système indépendante de / ; l'intégrale

d/ est aussi un invariant intégral du système (25), et par

svm-

suite il en est de même de l'intég-rale i <i>„^dJ'. Si le produit sj

bolique ui^^^df n'est pas nul, on aura donc un multiplicateur du système.

Il est facile de vérifier ce résultat, en se reportant au calcul qui a été fait à la page 228. Ecrivons, en reprenant les notations de ce paragraphe,

a>„ ^=\idx^...dx^-hAfdx^...dx„dXi -\- ...+ A„ctej...cte„j,

de sorte que l'on a

±: ^n-i(^f= Hf)dXi ■ ■ • dx,.

Si l'intégrale 1 (^n—i est un invariant intégral, on a identique-

ment

et par conséquent, si y est une intégrale de X(y) = o. on a la relation

qui prouve que A(/) est un multiplicateur. Si l'on connaît déjà un

autre multiplicateur M, le quotient [{ sera une nouvelle intéi ^ M

grale ; si l'on connaît deux intég-rales a et p, A(a) et A(^) sont deux

multiplicateurs et par suite le quotient — \^ est aussi une inté-

^rale (*).

On peut déduire facilement de co qui précède la solution d'un problème étudié par M. Buhl (î). Etant donné un système d'équations différentielles (26), où les X; ne dépendent pas de /, soient Bj, B2, ..., B,i de nouvelles fonctions de j?,, .7?2, . . .,Xn, et B(/) l'expression

M. Buhl s'est proposé de déterminer les fonctions B/ de façon que B('f) soit une intégrale de l'équation K(f):=.o, toutes les fois que f est une intégimle de la même équation.

Il existe toujours une infinité de solutions de ce problème. Soit en effet In-i ^ J'^n—i un invariant intégral du système (2^), tel que ««-i ne soit pas identique, à un facteur près, à la forme Qn—i définie à la page 222. On a alors

Mn-idf=: A{f)dXi . . . dXn,

A{f) étant une expression linéaire et homog-ène en — - — , • • > — ~ — ? et

les deux équations X(f) = o, A{f) =: 0 sont distinctes. Nous venons de voir que A(f) est un multiplicateur du système (aS), si y est une intégrale de l'équation X{f) = o. Soit d'autre part M un multiplicateur déterminé quelconque du système. L'expression

donne une solution du problème de M. Buhl.

On les obtient toutes de cette manière. Soit en effet

(') Voir la note déjà citée de M. Kœnigs (Comptes Rendus, t. CXXII, p. 25 ; 6 janvier i8g6).

(') Thèse de Doctorat.