CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 2B
une expression linéaire par rapport aux dérivées -^ , satisfaisant à
renoncé. Considérons la forme symbolique
x3n—i = BidjCi . . . djcn =t B*dxi . . . dxndjii + . . . ± Bn<ia?i dxn—\ ;
d'après sa définition même, on a
Hr vsn^\df^ B{f)dxi . . . djCn, et par suite, M désignant un multiplicateur du système (20), =t Mcjn-irf/= MB{/)dœi . . . dxn-
Posons w/j— 1 :=:±Mni/i— 1, et observons que MB(y) est un multiplicateur du système (25) toutes les fois que /" est une intégrale de X(y) r= o. Il suit de là que r intégrale J»n—\.df est un invariant intégral du système (20) si f est une intégrale de F équation X(f}^ o.
Imaginons que l'on prenne un système de variables canoniques (yi. yi, . - ., y/1— 1. t) pour le système (25); la forme &•«— 1 s'écrira
an^i = Kdyidyt . , , dyn-i + Hn^arfr,
K étant une fonction quelconque et 11/1—2 une forme de degré n — 2 où ne figurent que les diÉFérentielles dyi. Les n — i intégrales
/ wn^xdyi =: / Wn—^yidz («' = i, 2, . , , « — l),
doivent être des invariants intégraux. Il faut donc que les n — i produits symboliques Un—-2dyi ne renferment pas s, et par suite que les coefficients de la forme n^—o soient indépendants de s. L'intégrale
JUn-'idt est donc un invariant intégral. Si l'on revient aux variables Xi, ..., x„, on voit donc que la forme w/j— 1 est la somme de deux formes
w/j^l = Hil/i-i -f Un—i, £Ln-\ étant la forme de degré n — i définie plus haut (no B7)^ et ri/j— 1 étant un invariant intégral du système. On a donc
w„irf/=Ha«irf/+ nn i<//,
= [H.X(/)+At{/)]rf/, Ai(y^ se déduisant, comme on vient de l'expliquer, de l'invariant inté-
236 LEÇONS SLR LE PROBLÈME DE PFAFF.
gral d'ordre n— i I Il/i—if//"; eu remplaçant wn—irf/" par cette expres-
sion, il vient
Il est clair que la solution ainsi obtenue n'est pas plus générale que la première, car, si B(y) est une solution, il en est de même de B(/") -j- LX(/), quelle que soit la fonction L,
60. Invariants attachés aux trajectoires. — Reprenons un système de n équations différentielles dxi= Xidt, (/= i, 2, .,., n), où les Xi ne dépendent pas de f, et soient J'i,/^, ••■,J',i-i ^^^ intégrales premières distinctes, indépendantes de t, de ce système. Quand on multiplie toutes les fonctions X, par un même facteur indéterminé 'k{x^. ..., «„), le nouveau système
/ Q\ dxj dX'i dXn 7,
aXj /X2 ^'X,i
admet encore les n — i intégrales y^,y2i ••-ifn-ii ^* '^ dernière intégrale seule, où figure le temps, dépend de a. En d'autres termes, l'introduction du facteur a ne modifie pas les trajectoires, mais seulement la loi suivant laquelle chaque trajectoire est parcourue.
Soit w une forme symbolique de deg-ré yo en dj\, . ., df^^^, dont les coefficients ne dépendent eux-mêmes que de /'^, /"j, ..•,/,i i.
L'intég-rale / co est un invariant intég^ral du système (28), quel que
soit ). (n" 55). Nous dirons dans la suite que cet invariant intégral est attaché aux trajectoires du système d'équations différentielles dxi=:Xidt {i=i, 2, ...,n), et nous le désig-nerons par la notation If,, quand nous voudrons mettre cette propriété en évidence.
Si nous prenons un nouveau système de variables (y^, ^2' •••■> yn-i, z) où ?/i=/i, ..., yr.-i=fn-i^ 1© systèmc (28) est remplacé par un système
(29) '^=...=^^± = ^ = df,
^ ^^ o op.'
