CHAPITRE V. — IN VARIANTS INTÉGRAUX

OÙ a peut être une fonction quelconque de ^j, y^, ..., y,j i, -• Une intégrale i Q. sera un invariant intégral de ce système, quel que

soit a, pourvu que la forme Q. ne contienne ni r, ni dz. On voit par là ce qui distingue un invariant intésrral absolu quelconque d'un système canonique d'un invariant intégral attaché aux trajectoires.

Pour que I Q soit un invariant absolu, il faut et il suffit que

les coefficients de Q. ne dépendent pas de z.

Pour que j Q. soit un invariant attaché aux trajectoires, il

faut que îi ne contienne ni s, ni dz.

Il existe donc une infinité d'invariants intég-raux d'un ordre quelconque (de i à n) attachés aux trajectoires pour un système

de n équations différentielles. Soit / Q un invariant intégral

absolu du système (2). Pour que cet invariant soit attaché aux tra-

jectoires de ce système, il faut et il suffit que / Q. soit encore un

invariant intégral pour le système obtenu en remplaçant X,par aX,-, et cela quel que soit a. Supposons Q de degré />

i- == 7 -^r, r. r. ^X „ dx^, • . . dx„ ',

J^ aïKo . . . «p «1 «-2 «p

par hypothèse, les coefficients A^^ ^ ^ vérifient les condi-

tions (II) (page 219) pour toutes les combinaisons d'indices pk p. Ces coefficients doivent vérifier aussi les relations que l'on obtient en remplaçant X/ par).X/. Or. ces nouvelles relations deviennent, en tenant compte des premières,

V r^A«. . . . an^h -:^ + X^^,, , X/, -^ 4-

Xp-i

et doivent être vérifiées, quel que soit X. Si l'on j fait successive-

ment l = x^, . . ., 1=2 x,^, on voit que les coefficients A^ ^ doivent vérifier toutes les relations

pour toutes les combinaisons des n indices p — i kp — i. On peut

énoncer ce résultat de la façon suivante : Pour que 1 Q, soit un

invariant intégral attaché aux trajectoires du système (^), iljaut et il suffit que les coefficients de Q. vérifient les conditions {i i), et que toutes les équations du système de Pfaff attaché à la forme Q (n*^ 32) soient vérifiées quand on y remplace dxi par Xi (i=i,2, . . ., n).

Les conditions (3o) expriment que les formes de Pfaff o)^, w^, ..., tir, associées à la forme symbolique Q s'expriment linéairement au moyen des (n — i) formes df, ..., df^^^, en désig-nant par ■f\.ifi> •••ifn-i un système de n — i intégrales distinctes de l'équation

En effet, l'équation de Pfaff"

sera vérifiée, d'après la relation (3o), si l'on remplace Xi, x^, . . . , x^ par des fonctions d'une variable indépendante satisfaisant aux équations (2), c'est-à-dire par des fonctions d'une variable indépendante satisfaisant an — i relations/"^ = Cj, . ..,/',j i = C^^. Les équations w^ ^^ ^ = o sont donc des conséquences des

équations df-=o,...,df^^^=:o, et par suite les formes de Pfaff associées à la forme Q sont des combinaisons des « — i formes df, df2, . . ., df^__^. La forme symbolique ii s'exprime donc ellemême au moyen de ces différentielles seulement. Telle est la signification des conditions (3o). Quant aux conditions générales (11), qui s'appliquent à tous les invariants intégraux, elles