CHAPITRE V. — IWARIUSTS INTÉGRAUX

non» venons de voir que la forme û est au plus de classe n — i . Réciproquement, soit

p ^^ «i«. ... «p a, OLp

une forme symbolique de degré p à n variables, et de classe

inférieure à n. L'intég^rale 1 w^ est un invariant inté|çral attaché

aux trajectoires pour un système au moins d'équations différentielles. En effet les équations

qui se présentent dans l'étude de la classe d'une forme symbolique (n'- 33), se réduisent an — i équations distinctes au plus, quand on y regarde \, '/~^; ..., A/, comme des inconnues. Soit Xi = Xi, .... A„ = Xn un système de solutions non toutes nulles;

nous avons démontré plus haut que | w^ est un invariant intégral

attaché aux trajectoires pour le système

dxi dœ,t , ,

Si Wp est de classe n — i , les fonctions X/ sont déterminées à un facteur près. Si w^ est de classe n — r, Xi, ..., X^ dépendent linéairement de r coefficients arbitraires. La propriété peut encore s'établir sans aucun calcul. Si la forme w^ peut s'exprimer au moyeu de n — r fonctions distinctes y*^, y, /„—r et de leurs

diflFérentielles, f w est un invariant intégral \p pour tout système

d'équations dififérentielles admettant les n — r intégrales premières .

/i = C^,/o = Cj, .. .Jn-r=Cn—r-

61. Formation de ces invariants. — H. Poincaré (') a indiqué rapidement un procédé permettant de déduire d'un inva-

(•) Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste (t. III, p. 33,.

G. Prob. * 16

riant du second ordre un invariant du premier ordre, qui est précisément un invariant attaché aux trajectoires. On lui doit également un procédé (^) pour déduire d'un invariant intég-ral d'ordre n un invariant intég-ral d'ordre n — i . En réalité, la méthode de H. Poincaré s'applique à tout invariant intégral, quel qu'en soit l'ordre, et permet de déduire d'un invariant intégral absolu d'ordre/), non attaché aux trajectoires, un nouvel invariant intégral absolu d'ordre /> — i, attaché aux trajectoires.

un invariant intégral absolu non attaché aux ti^ajectoires. Posons

Soit I, = / 0), = / >>„.„. ^^^ dx^^ dx^^ . . . dx^^

b, ai«2 . . . «p—i À^ «i«« . . . «p-l« ' '

l'invariant \^ n'étant pas attaché aux trajectoires, toutes les fonctions G„ „ „ , ne sont pas nulles à la fois. Soit wn i la forme

symbolique de degré p — i

wn i = 7 G dx . . . dx

effraie j '

l'intégrale j (^p—i est un invariant intégral absolu attaché aux

trajectoires .

Il suffît, pour le démontrer, de vérifier que les relations

sont des conséquences des conditions (n). Or on a '(X1X2 ... «p-

(^aia2 ... ap i)

(') Acta Mathematica, t. XJJI, p. 66 {i8go)

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