CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX
Remplaçons X ('Agj ^ Apar sa valeur tirée des formules (ii); il vient
En remplaçant de même les C par leurs valeurs, la relation à vérifier (3i) devient
+ S [Ù^ ^'^h^i ... up-ii^' + - + S^ 2^K, ...up-^Jii) = o,
ou, en supprimant les termes qui se détruisent à première vue,
il suffit de permuter les indices i et h dans l'un des deux membres pour obtenir une identité.
L'intégrale / wp—i est donc bien un invsu*iant intégral.
C'est un invariant attaché aux trajectoires. Nous avons en effet
^^aiao . . . up.ih^>' = Z^Z^-^«iao . . . up^o/ii^i^k. h=\ h i
et les termes du second membre se détruisent deux à deux, car il change de signe quand on permute les indices i et h.
Pour abréger, j'appellerai l'opération (E) l'opération qui vient d'être définie, et qui permet de déduire d'un invariant absolu I^, non attaché aux trajectoires, un invariant Ip i attaché aux tra-
jectoires. Cette opération, appliquée à un invariant 1^, conduit à un résultat identiquement nul. Nous avons appelé plus haut opération (I>) l'opération qui conduit d'un invariant intégral absolu 1^^
ou d'un invariant relatif J^, représenté par l'intégrale / w, à un
invariant I^^i = 1 w'. Appliquée à un invariant L, elle conduit
aussi à un invariant identiquement nul.
Il est facile, en se servant des conditions (ii) et (3o), de démontrer les propriétés suivantes (^).
L'opération (D) appliquée à un invariant I^ conduit à un invariant Ip^i c'est-à-dire à un invariant attaché aux trajectoires, qui est en même temps égal à une intégrale de différentielle totale symbolique.
L'opération {E) appliquée à un invariant Ip conduit à un invariant lp'J\.
Les opérations (D) et (E) sont permutables.
Ces propriétés sont immédiates si l'on suppose le système (4) ramené à une forme canonique. Nous y reviendrons au paragraphe suivant.
Remarque. — Pour appliquer l'opération (E) à un invariant w, il est commode d'appliquer cette opération à chacun des
monômes de la forme w successivement.
Par exemple, soit ï^ un invariant absolu du deuxième ordre
h= j ^^ihdxidxk ; l'invariant \\ que l'on en déduit a pour expression
li= / ^kik[Xidxh — ^kdxi).
(*) Journal de Mathématiques (6' série), tome IV {igo8), p. 344-
