CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX
62. Interprétation de la méthode précédente. — Considérons d'abord un svstème de trois équations
dœ du dz .
où X, Y, Z ne dépendent pas de /, et un invariant intégrral du troisième ordre
,1 ," n I I j Udxdydi
Soit Sq une portion de surface limitée par un contour fermé P ; les trajectoires issues des différents points de S^ engendrent un tube de trajectoires, limité par une surface Si, lieu des trajectoires qui rencontrent le contour F. Soit m,, {Xq, y,, 5^) un point de S^, ; le point de l'espace qui est au point' m^ au temps / = o, est venu en un point m au temps / = T, et le lieu de ce point m est une surface S qui limite avec S^ et Sj un domaine D, le temps T ayant la même valeur pour tous les points de S(,. Pour calculer l'intéarrale I étendue au domaine D, supposons les coordonnées d'un point de S^, exprimées au moyen de deux paramètres \^ii, v), de façon que Sg corresponde point par point à un domaine fermé R du plan (a, v). Le domaine D de l'espace correspond alors point par point à un domaine cylindrique de l'espace à trois dimensions (m, u, t) limité par les deux plans / = o, f = T, et l'on a
1 = fffwœdy<ts = fffyi ^^dadodt
= r f Tm \^^Z +B^X + 2^y] dadodl JJJ LD(«.r) D{a,v) D{u,v) J
ce que l'on peut encore écrire
1= I dt I j M\ Xdydz + ydzdx + Zdxdy j ,
l'intégrale de surface / / étant étendue à la section Si du
domaine D que l'on obtient en donnant à t une valeur constante comprise entre o et T. L'intégrale I est une fonction de T dont la dérivée pour T = o, par exemple, a pour expression
(■^j = / / M(Xdijdz -f Ydzdx -\- Zdxdij).
Nous définirons un autre domaine A analogue à D de la façon suivante. A chaque point m^ de Sq faisons correspondre un nombre 6 variant d'une manière continue avec la position de m^. Sur la trajectoire issue de ce point mp, prenons les points a^, et ^ occupés par le mobile, qui part de m^ au temps / = o, aux époques / = 6 et # = e + T.
Sur chaque trajectoire issue d'un point de Sq, nous prenons ainsi quatre points /Wq, m, jaq, [x, correspondant aux valeurs ^ = o, < = T, ^=6,^ = 6 + T.
Lorsque le point m^ décrit Sq, le point m décrit S, et les points [Xq, [jl décrivent aussi deux sections S„, S du tube de trajectoires. Soit A le domaine intérieur à ce tube compris entre I^ et S. Il est clair que ce domaine A se déduit de la surface Sg de la même façon que D se déduit de S. La dérivée par rapport à T de l'intégrale triple
[j = / / / Mdxdydz
est donc égale aussi, pour T = o, à
l-^\ = jj M{Xdijdz + Ydzdx + Zdxdy).
D'autre part, l'intégrale /^ étendue au domaine A est égale à Vintégrale I étendue au domaine D. On passe en effet du domaine D au domaine A en ajoutant à D le domaine 8 compris entre S et I, et retranchant ensuite le domaine 8q compris entre S^ et Sq. Or les deux valeurs de I étendues à ces deux domaines sont égales, puisque par hypothèse I est un invariant intégral.
