CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

On a donc aussi ( -t= ) ^ ( -rp) , et la valeur de l'intégrale de surface

I| = r r },l{Xdyds + Ydsdœ + Zdxdy),

étendue à une section quelconque du tube de trajectoires, a une valeur constante. Cette intégrale est donc un invariant du second ordre attaché aux trajectoires ; c'est précisément celui que l'on obtient en appliquant l'opération (E) à l'invariant intégral du troisième ordre I .

Le raisonnement qui précède est dû à H. Poincaré (Acta Mnthematica, t. XIII, p. 66). Il est aisé de l'étendre à un invariant d'ordre quelconque ('). Soit

(33) h= ( ^K r. V d^n dx^ ... dx^

un invariant intégral d'ordre p du système

l-\l\ dx^dxi__ d£^j.

où les X, ne dépendent pas de / ; je supposerai, pour fixer les idées, que la sommation indiquée par le signe S est étendue à tous les arrangements p a p des n premiers nombres. Soit Ep-t une multiplicité k p — i dimensions de l'espace à n dimensions (a?i, x^, ..., a?„), non composée de trajectoires du système (34). Quand on fait varier ^ de o à T, le point (a7j, x^, ..., x^) qui, pour / == o, coïncide avec un point (a^, a^, ..., a„), de E;,i décrit un arc de trajectoire allant du point (a^, a^, . . ., a„) à un point {b^. 6.,, . • ., /'„) et ces portions de trajectoires engendrent une multiplicité à p dimensions E^, limitée par Ep i, par la multiplicité E'p i décrite par le point (6^, b^, ..., b„) et par une autre multiplicité E"p-i engendrée par les segments de

(•) Journal de Mathématiques (7* série), tome 1 iiQiô). p. 24a.

trajectoires issues des points de la multiplicité Ep 2 qui limite Ep-i. Nous allons calculer l'expression de Tintég-rale Ip étendue à la multiplicité E^. Pour cela, supposons les coordonnées (a^, «2, •'•idn) deEp i exprimées au moyen de/) — i variables indépendantes, de façon que E^-i corresponde point par point à un certain domaine R/)i k p — i dimensions de l'espace («j u^, ..., Up—i). Les coordonnées d'un point de E^, sont alors des fonctions de

M], «25 '••iUp—i, etde^, qui vérifient les relations —:=:X'. L'intégrale cherchée peut s'écrire

''' = JlK^. . . . «.^ • • • fe ^ <"" • ■ ■ ''«-''"•

la sommation indiquée par le sig-ne 2 étant étendue à tous les arrangements d'indices p à /). On peut encore écrire I^,

PC^ ^,., ^£z±du,...dup-u

j a.^ ... v-p-i 2^uj ^Up-\ ^ ^

dt]

en posant

cette expression de I peut aussi s'écrire, sous la forme abrégée équivalente,

(37) lp= dt ^C dx^dx^, ■ • • dx '

L'intégrale I^ est donc une fonction de T, dont la dérivée pour T = o a pour valeur

(38) (^) = r yG„„ „ .dxdx^ ...dx^ .. -

Considérons une autre multiplicité ê^ définie en partant de Ej,.^ d'une façon plus générale. A chaque point (a^, ..., aj de Ep i faisons correspondre un nombre 0 variant d'une manière continue avec la position de ce point. Sur la trajectoire issue de ce point,