CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGR.AUX

prenons les points (a,, ..., a„) et (^4, ..., ^„) occupés par le mobile

qui part du point [a^ a,j) au temps / ^ o, aux époques / = 0,

/ =T + 0 ; il y a ainsi sur chaque trajectoire issue d'une point de Ep, quatre points de coordonnées (a/), (6,), (a,), (^j) respectivement qui correspondent aux valeurs / = o, ^ = T, / = 9, / = 9 + T. Lorsque le premier de ces points décrit Ep^, le point (bi) décrit E'p^, et les points (x,) et (^3,) décrivent deux autres multiplicités 6p,, 6'p,.

Soit &p la multiplicité eng-endrée par la portion de trajectoire comprise entre les deux points (xi) et (^i), e^ et e'^ les domaines décrits par les seg-ments de la même trajectoire compris entre les points (a,) et (i,), (6,) et (S,). On obtient le domaine «5^ en ajoutant au domaine E^ le domaine e'^ et retranchant le domaine Cp. Mais les points des deux domaines e^ et e'^ correspondent deux à deux à des valeurs de { qui diffèrent d'une quantité constante T. Les valeurs de l'invariant intég-ral Ip, étendues à ces deux domaines, sont donc é^-ales. Par suite il en est de même des valeurs de I^ étendues aux domaines E^ et 6^; les valeurs des deux dérivées sont donc égales pour T:^o.

Or il est évident que le domaine 6p se déduit du domaine &p^i comme E^ se déduit de Ep j. La valeur de l'intégrale.

est donc ésrale, quel que soit 0, à l'intégrale (38).

L'intégrale \p—\ est précisément l'invariant intégral que l'on déduit de \p par l'opération (E). La démonstration prouve bien que la valeur de cette intégrale étendue à une multiplicité à p — i dimensions, obtenue en prenant un point à volonté sur toutes les trajectoires issues des différents points de E^—i, est égale à la valeur de la même intégrale étendue à Ep i. C'est donc un invariant intégral attaché aux trajectoires.

Cette interprétation de l'opération (E) est évidemment indépendante du choix des coordonnées qui fixent la position d'un point dans l'espace à n dimensions. Cette opération est donc covariante

pour le système (34). En termes plus précis, soient 1^=1

w„ un

invariant intégral de ce système, lp—\ = / Mp—i l'invariant inté-

gral qu'on en déduit par l'opération (E) ; si on effectue une transformation de coordonnées définie par les formules xi = cp/ (y^^, y^i •••» yù {^ ^= '' 2, ..., n), le système (34) est remplacé par un nouveau système

(34') ^=...=!!^=dt,

les deux formes wp et w^-i sont remplacées par deux formes vjp et cjyj-i, et les deux invariants intégraux Ip et Ip i s'écrivent, avec les nouvelles variables,

La forme ^p—\ se déduit de la forme v^p de la même façon que la forme t^p—i se déduit de w^, les variables xt étant remplacées par les variables yi et les fonctions Xi par les fonctions Yi respectivement.

Supposons en particulier que le système (34) ait été ramené à une forme canonique (n*' 55). Avec les variables canoniques //i, ^2» •• -5 yn-\, z, la forme m^ s'écrit

"V = ^p + %-idz, Q,^ et i2^i étant des formes de degré p et p — i i^espectivement, en di/i, ..., dyn—\, dont les coefficients ne renferment pas z. L'opération (E) appliquée à l'invariant I^ = \ ^%> conduit à l'invariant

Ijj i = / ^jo— 1, qui est bien un invariant attaché aux trajectoires. L'opération (D) appliquée au même invariant Ip conduit à un invariant Ip j i = I Q'p -\- Çl'p-idz. Enfin les deux opérations (E)

et (D) appliquées successivement à l'invariant Ip conduisent, quel que soit l'ordre dans lequel on les applique, à un seul invariant

nouveau I^' ^ = I iip i. De l'invariant intégral Ip, on peut donc