CHAPITRE 1. FORMES CANONIQUES

Al et Al les points d'un espace à (n — i) dimensions dont les coordonnées homogènes sont (rfj*i, . . . , dxn) et {ijci, .... o J?,*)- Ces deux points déterminent une multiplicité linéaire à une dimension, ou droite, dont les coordonnées pluckériennes sont les binômes djCiOXk — dxkojci (i, /f =r I, 2, . . ., rt) La relation '•>' ^ o exprime que cette droite appartient à un complexe linéaire de Fespace à (n — i) dimensions .Celle interprétation ne sera pas utilisée dans la suite.

5. Le système Si. — Etant dooné un élément linéaire (cLcj, djCi, — djc^}, issu d'un point (x^, x^, ..., x^\ les éléments linéaires issus du même point, en involution avec le premier, forment en o'énéral une multiplicité k n — i dimensions. Il n'y a d'exception que si la relation w' ^ o est vérifiée identiquement, quelles que soient les valeurs de â.rj, 6x^, ..., ^x^. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que dlr,, dx^, .. ., cLx^ vérifient les n équations linéaires

I a^^dx^ + Oj^fc + . . . -|- aj„</j?„ = o, \ a^idx^ + a^,dxg + . . . + a^^dx^ = o,

l a^^dx^ + a^,dx^ + - . . -f- a^^dx,^ =o.

De tels éléments linéaires seront appelés .ç//i^M//ers ; les éléments linéaires sing-uliers issus d'un point sont donc en involution avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.

Si n est impair, il y a toujours des éléments linéaires sinaruliers. puisque le déterminant A des coefficients «/a est nul ('). Si n est pair, et si A est différent de zéro, il n'y a pas d'éléments linéaires singuliers. C'est le seul cas où il n'existe pas d'éléments de cette espèce.

Soient it/Xj. dx:^, .., dx^ un élément linéaire singulier issu

d'un point (Xj, a*j, ..., x^, et (t/^i, c^y,, dy,^ l'élément linéaire

issu du point (y^, ^j, ..., y„) qui correspond au premier par le chang-emeut de variables (6). Puisque le premier élément est en involution avec tout autre élément linéaire issu du même point, le second élément linéaire idy^^dy^^ ..., dy^ doit aussi être en

(') Pour démontrer qu'un déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul, il suffit d'observer que ce déterminant change de signe, quand on chance le signe de tous les éléments. Or cette opération ne change pas la valeur du déterminant, puisqu'elle revient à échanger les lignes et les colonnes.

involution avec tout autre élément linéaire issu du même point dans l'espace (?/^, y^, . . . , ^„). Il faudi^a donc que l'on ait

^Yà^ihdijfiyk = o,

quels que soient 8//^, Sj/g, ..., S//^ et, par suite, que o?//i, dy^, ..., dy^ vérifient les n équations du système

biidy, + b^^dy, + . . . b^^dy,^ = o, ^ ,,, , b.,,dy, + b^^dy^ + ... b.^^dy^ = o,

bnidy^ + b,,4y.2 + . . . b,,^dy^, = o,

qui se déduit de la nouvelle forme dePfaff

o,m^\^dy, + Y^dy^ + ... + YJyr,

de la même façon que le système S^ se déduit de la forme primitive. Le système S^^ est donc un système covariant de la forme w, relativement à tout changement de variables.

En d'autres termes, si, par le chang-ement de variables défini par

les formules (6), la forme /^ Xidx,- devient 2,^idyi, le système

S^ se transforme, par le môme chani^ement de variables, en Sj^'^).

Supposons que le déterminant A soit ég-al à zéro, de sorte que les n équations de Sj se réduisent à r équations linéairement distinctes (^ <C n). Ce système admet alors une infinité de multiplicités intég-rales à une dimension, dépendant de constantes arbitraires, si r = n — I, et de fonctions arbitraires si r<Z, n — i. On peut en effet adjoindre aux r équations linéaires du système S^ un système de n — r — i équations linéaires en dx^^, dx^, .. ., dx^, à coefficients arbitraires, de façon à former avec les premières un système de n — i équations différentielles ordinaires (')

(1) D'après l'interprétation donnée plus haut du covariant bilinéaire, ces multiplicités intégrales à une dimension du système Sj sont les courbes

extrêmales pour l'intégrale yXido;, -f- Xjdajj -|- •••+ ^»'^^«- Des considérations empruntées au calcul des variations permettent de démontrer 'sans aucun calcul que le système S, est complètement intégrable [Bulletin de la Société Mathématique, t. XLIV, 1916, p. 26 et suiv.).