CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRArX

déduire, en général, trois nouveaux invariants Ip i, I^^, Ip'*, et trois seulement. Quelques-uns de ces invariants peuvent disparaître ; si, par exemple, l'invariant \p est ésral à une intégrale de différentielle totale, on a Q'p = Q'p-i=o, I^^i et l^' ^ sont nuls. Si l'invariant Ip est attaché aux trajectoires, ûp i = o, Ip i et Ip' disparaissent. Enfin, si l'on a ûp t = o, û'^ = o, les trois invariants que l'on déduit de Ip sont identiquement nuls. Les théorèmes énoncés à la fin du paraerraphe précédent sont évidents sur ces formes réduites. On voit de même que tout invariant Ip i peut se déduire, d'une infinité de manières, par l'opération (E), d'un invariant Ip, et que tous ces invariants I^, ne diflfèrent de l'un d'eux que par un invariant d'ordre p attaché lui-même aux trajectoires.

Ejcemple. — Supposons que le système (34), où n = 2/), admette l'invariant intégral

î^= j j cLjCydXi + dxzdXi + ... -f dxip—idxtp ;

l'invariant que l'on en déduit par l'opération (E) est un invariant I^*', qui a pour expression

ij' " =r I X,dXi — Xsrfxi + ... -f Xyt—idxtp — Xipdxjp-i.

La forme de Pfaff qui est sous le sis^ne intégral doit être une différentielle exacte, ce qui exige que le système (34) soit un système canonique (cf. n^ 58).

Remarque I. — D'un invariant relatif Jp= / w^, qui n'est pas une intégrale de différentielle totale, on déduit un invariant intégral absolu Ip j i = I fû'p. Si cet invariant L i.i n'est pas attaché

aux trajectoires, on en déduira par l'opération (E) un invariant I^'*. D'un invariant intégral relatif, 00 peut donc toujours déduire un invariant intégral attaché aux trajectoires.

Lorsque l'invariant / w'^ est attaché aux trajectoires, on peut

dire que l'invariant lui-même J^ est attaché aux trajectoires. Considérons en effet une multiplicité Ep^.^ limitée par une multiplicité fermée E^, et sur chaque trajectoire issue d'un point de E^^^ prenons un point à volonté. Le lieu de ces points est une multiplicité E'^^j limitée par une multiplicité E'^, dont chaque point est situé sur une trajectoire passant par un point de E^, et inversement. L'invariant / w'^ étant par hypothèse un invariant

Ip!|^i, les deux intég-rales étendues à E^+i et à E'p-^-i sont égales ; il en est donc de même des deux valeurs de l'intégrale J^ étendue aux deux multiplicités E^ et E'^,. Il s'ensuit que J^ est un invariant intégral relatif pour tous les systèmes d'équations différentielles que l'on obtient en multipliant les fonctions X/ par un facteur arbitraire k{xi, x^, . . ., x^.

Remarque II. — II est aisé de reconnaître si un invariant intégral \p :=■ l Mp peut être ramené à la forme / ilp—\dz avec un système de variables canoniques. Soit

/ Mp—\ = / ilp -1

In-1

l'invariant qu'on déduit de Ip par l'opération (E). Avec les variables canoniques, on voit immédiatement que l'on a Mp=i Mp—idz. Il faut donc que la for/ne fop soit, le produit de la forme Mp-i par une différentielle exacte.

Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, si l'intégrale

/ Wp est un invariant intégral, on a

Mp = Op -]-<lp-idz,

£lp et £lp-\ ne renfermant que les variables yi et leurs différentielles. La forme wyj i qui figure dans l'invariant \p~i est égale à £lp—\ ; pour que WjD soit divisible par Mp—i, il faut donc que Q.p soit divisible aussi par %)-!, et l'on a

Mp-=. Mp—i{dz + rii),

rii étant une forme de Pfaff en r/yj, ..., di/n—i. Si la forme linéaire dz -f- rii est une différentielle d{z -\- 4>), il suffira de remplacer z par