CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

63. Relations entre les invariants et les intégrales. — La connaissance d'un invariant 1^= 1 up d'un système d'équa-

lions difiFérentielles

OÙ les dénominateurs X/ ne dépendent pas de /, permet en général de simplifier le problème de l'intésTration. Soit n — r la classe de la forme w^ ; si on ramène cette forme à une forme réduite où ne fig-urent que n — r variables, ^i, y^, ..., i/n—r et leurs différentielles, nous avons vu (n** 60) que^i, y*, ..., j/n-r sont des intégrales distinctes du système (Sg). La détermination de ces n — r fonctions exige l'intégration d'un système de n — r équations aux différentielles totales complètement intégrable, et nous avons vu les simplifications qui pouvaient se produire dans Tintéarration de ce système. Dans le cas le plus défavorable, où /*= i. et où w est une forme dérivée, on a vu que l'on peut toujours achever l'intégration du système S' associé à la forme w^ par une quadrature, si l'on connaît 72 — 2 intégrales distinctes. La connaissance de

l'invariant I a>^ offre donc le même avantage que la connaissance

d'un multiplicateur.

Après ces généralités, nous allons examiner en détail quelques cas particuliers. Soit M un multiplicateur du système. L'invariant

I„^ / yidjCi . . . djCn est un invariant I„, mais il ne peut être un

invariant I*. car la forme sous le signe Intégral est de classe n. En lui appliquant l'opération (E), on obtiendra donc un invariant

ln-1 = / '^n-U

qui est nécessairement de classe n — i. Cet invariant n'est autre que l'invariant / Mûn i considéré au n* 57 .

Pour déterminer les n — i intégrales de l'équation yiQ.n—\df=o,

nous avons vu qu'il suffisait de connaître n — 2 intégrales distinctes, et la dernière s'obtient par une quadrature.

La simplification est la même si l'on connaît un invariant l^i, car un invariant de cette espèce est de la forme MQ,i i, où M est un multiplicateur. Supposons en second lieu que l'on connaisse

un invariant \n—\ = I f^/j— 1 qui ne soit pas attaché aux trajectoires. Nous avons vu (n» 57) que les équations

O)n-idf=0, X(/)=0

forment dans ce cas un système complet; on aura donc n — 2 intég-rales premières du syst"^me (89) par l'intég-ration de ce système complet.

Au lieu d'opérer ainsi, on pouvait d'abord déduire de hi-i un

invariant 1^2 = / w,j 2, et ramener ensuite la forme ««-2 à une

forme réduite. Mais il est à remarquer que les calculs sont au fond identiques. Supposons en effet que l'on ait pris un système de variables canoniques; avec ces variables, o)n—i et w«-2 ont les formes suivantes

Oin-i = Un-i -\-Un-2dz, w,i-<2=^n—'2,

U/i-i et Un-2 ne renfermant que les variables i/i et leurs dift'éren-

tielles, tandis que l'équation X(/") = ose réduit à -^ = 0. Les deux

systèmes

(4o) oin-idf=o, X(/) = o,

sont donc identiques, puisqu'ils s'écrivent avec les variables canoniques

Un-2df=o, |7 = o-

Supposons que l'on ait déterminé n — 2 intég'rales distinctes fil fît ...^fn—2 du système (4o'). Si la forme w,t 2 est de classe n — i on peut l'écrire

^ w«.2 = Yd/^df-i, . . . dfn-2,