CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

et le coefficient F, qui s'obtient par un simple calcul d'identification, est une nouvelle intégrale du système (Sg). Si w„o est de classe « — 2, il est clair que l'on ne peut déduire la dernière intég'rale du svstème (2*)) de la connaissance de cette forme.

Le calcul est évidemment le même si l'on connaît directement un invariant I^j 2. D'une façon g-énérale, supposons que l'on connaisse un invariant 1»= i ^p, où la forme wp admet r diviseurs

linéaires distincts d/i, ..., d/r, de sorte que l'on peut écrire oip comme un produit symbolique

U)p = Çldfi . . . d/r,

la forme Q n'admettant plus de diviseur linéaire qui soit une différentielle exacte. Les deux équations

oi^df=o, X(f) = o

admettent encore les r intég-rales distinctes y*!, ...,fr, que l'on obtiendra par l'intégration d'un système complet, facile à former en partant de w^. Le procédé même permet de reconnaître si- la forme w^ admet des diviseurs de la forme voulue, et d'en déterminer le nombre sans aucune intég'ration (n'' 25).

Nous examinerons encore le cas où l'on connaît un invariant intégral absolu du premier ordre du système (89)

Il =' I "1= I \dx^ + ... + kndxn-

Nous pouvons reprendre le raisonnement du n" 62 en supposant p=z i ; la multiplicité Ep^ se réduit alors à un point, et l'on en conclut que l'opération (E), appliquée à la forme wi, conduit à un invariant intégral cFordre zéro, c'est-à-dire à une intégrale du système (89)

A,X,-t- ... +A„X« = Gte;

c'est au fond la méthode même de H. Poincaré pour établir ce théorème déjà cité plus haut (n*' 58).

Le résultat est illusoire si AjXj -j- ••• 4- A«X« se réduit à une constante K. Si cette constante est nulle, l'invariant considéré Ii est un invariant I^, et il suffira de ramener m^ à une forme canonique, ou, plus simplement, d'intég-rer le système Sa correspondant (n** 6) pour avoir c intégrales distinctes du système (89), si la forme wj est de classe c. ,

Si la constante K n'est pas nulle, considérons le système auxiliaire k n -\- 1 inconnues, x^, ..., œn, Xn+i,

Il est évident que l'intégrale

r= I X^^dx^ + ... + AndX/i — KdXn-\-i

est un invariant intégral attaché aux trajectoires pour ce système, d'après la relation lA/X/ — K=o. Il suffira donc de ramener w^ — Kdxn+i à une forme canonique pour avoir des intégrales de ce système auxiliaire (89').

Supposons d'abord w^ de classe paire 2/9 ; on peut alors, par un changement de variables, la ramener à la forme canonique ^idyi + ••• -^ ^pdi/p.oày^, ...,y^,£^, ..., 5^ sont 2/> fonctions distinctes des variables x^, x^, ..-, x,i. On aurait donc pour la différence w^ — Kc/a?«-fi la forme canonique

z^dij^ + ... + Zpdyp — Kdxn^u

et Xn-{-i serait une intégrale du système (89'), ce qui n'a pas lieu. Il faut donc que w^ soit de classe impaire 2p -\- \ \ elle admet alors la forme canonique

z^dij, -f- . . . + zpdijp + dijp^\,

les variables i/i, Zk ne dépendant que de x^, ..., Xn, et w^ — Kdxn-\-\ admet aussi la forme canonique

z^dy^ + • •• + Zpdyp + r/(^p+i — Kaî^+i).

Le système (89') admet donc les 2/> -f i intégrales

yi = Ci, Zi = C'i, yp^i — Kxn+i=Cp^i, (/= i, 2, ...,/>),