CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUX

et par suite le système (89) admet les 7.p intég^rales

yi = L/, Si = L I, et une intégrale première, qui renferme le temps,

yp+i — ^f=^p+i'

Remarquons qu'il n'est point nécessaire, pour avoir ces intégrales premières, de ramener <^)^ à une forme canonique. Nous avons vu en effet (v9 5) que, si l'on a intégré le système S^ associé à cette forme, il suffit d'une quadrature pour ramener Wj à la forme

^'idyi + V^t/y, + ... + Y.pdi/^^ + rf^jp+i,

Yj, Yj, ..., Yjp ne dépendant que de ^j, y,, ..., y^^. Les nouvelles variables yi,yi, ■•■il/ip+i sont des fonctions des variables x^, ..., J?/», qui s'obtiennent par l'intégration du système S^ et une quadrature. Les 2/> équations y/i^C/ représentent alors des intégrales premières du système (Sg), et la dernière intégrale, qui renferme le temps est y^p+i — Kt = G,p+i.

Supposons enfin que l'on connaisse un invariant relatif

J^= I Wj. qui ne soit pas une intégrale de diflFérentielle exacte,

du système (Sg). L'intégrale 1 w/ est un invariant absolu Ig du

même système. En lui appliquant l'opération (E), on en déduit un

invariant absolu du premier ordre (n° 61), 1-2 "^^ / ^i- La forme

de Pfaff m^ doit être une différentielle exacte df, et les dérivées

vérifient la relation SXj-=^::=o, puisque cet invariant est un

invariant If. La fonctiony est donc une intégrale du système (39), et par conséquent de tout invariant relatif du premier ordre du système (3g) on déduit, par une quadrature, une intégrale de ce système (*). La méthode s'applique aussi à un invariant absolu I^, mais l'intésrrale à laquelle on est conduit est identique à l'intégrale de Poincaré SA,X,-.

(') Journal de Mathématiques (4* série), tome JV, igoS, p. 356.

Probl. 17

2o8 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

Ce résultat est illusoire si l'invariant / w/ est un invariant L'*.

Si la forme w/ est de classe 2/), il suffira d'intégrer le système S' associé à cette forme pour avoir ajo intégrales du système (Bg). Or, le système S' est ici identique au système Sj (n*^ 5) associé à la forme w^ (*).

Remarque. — Soit I* = | wp un invariant intégral du système (Sg)

de classe r<^n — i ; si on sait intégrer le système S + S' relatif à la forme Wj,, on peut, par un changement dé variables, exprimer cette forme au moyen de r variables seulement yi, ya, . . ., yr et de leurs différentielles. Le même changement de variables, appliqué au système (89), conduit à un système admettant les intégrales i/i, 1/2, .. ., yr, et qui est, par conséquent, de la forme

(39") '^=...^'^=.$^=...=-$^=.dt.

^ ^ ' 0 0 ir+i in

Il est clair que la connaissance d'un invariant intégral I cop, où eop

s'exprime uniquement au moyen de yi, . . ., i/r, di/i, . . ., dyr, ne peut être d'aucune utilité pour l'intégration du système

/,,^ dyrj-i dyn ,

Mais si l'invariant 1* a été déduit par l'opération (E) d'un invariant lp-\-i = / Mp-\-i, après le changement de variables, la forme wp-j-i

ne s'exprimera pas uniquement au moyen des variables yi, y^, . . -, yr, et de leurs différentielles, et on pourra en déduire un ou plusieurs invariants intégraux pour le système (4i). Je renverrai pour ce sujet aux Mémoires déjà cités (^).

(») Ibid., p. 353.

(*) Journal de Mathématiques (7" série), tome l,p. 252. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VII, igi5, p. 38-^5.