CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF. CARACTÉRISTIQUES
Les systèmes les plus généraux d'équations de Pfafif ont d'abord été étudiés par Biermann (*), qui s'était proposé de rechercher l'ordre maximum des multiplicités intég-rales, en supposant qu'il passe une de ces multiplicités par chaque point de l'espace. Il a trouvé ainsi, lorsque les coefficients sont quelconques, que ce nombre maximum est égal au quotient, à une unité près par défaut, du nombre total n des variables par le nombre r des équations ausrmenté de l'unité. Différents géomètres ont repris depuis lors l'étude du cas srénéral, sans arriver d'ailleurs à une démonstration entièrement rigoureuse du théorème précédent. Des résultats plus précis ont été obtenus ensuite par Engel, von Weber, et surtout par Cartan (*), qui a donné une méthode générale pour trouver dans tous les cas l'ordre maximum des multiplicités intégrales non singulières. Nous exposons dans les chapitres suivants les principaux résultats de Cartan. •
64. Généralités. — Considérons un système de r équations linéaires par rapport aux difiFérentielles dx^^, dx^, •.., dx„,
iWj = X^^^dx^ -(- Xj26^J?2 + • • • + X^ndXn = O, Wj^Xji^JJi + Xjjf/j?, -f- . . . -f- X,ndXn = 0, Wr= XridXi -f- Xpidx^ -f • . . + XrndXn = O,
dont les coefficients Xik sont des fonctions analytiques ; dans cer-
(•» Uelter n simultané Differentialgleichungen der Form Y-X dx zz. oiSchlôm.
Zeitschrift, t. XXX (i885), p. 23S-2U).
(*) Sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales (Annales de l'École Xormale, 3* série, t. XVIII, igoi,p. 2^i-3ii).
Voir aussi : F. EIsgel. Berichte Ges. Leipsig (t. XLI et XLII, 1 889-1 890) ; Remarques ajoutées à une nouvelle édition de V Ausdenungslehre de H. Grassmann (Leipzi?, 1896), p. 479-
E. VON Weber. Berichte Ges. Leipzig (t. L et LU, 1898-1900) Sitzangsberichte Akademie Mûnchen (t. XXV et XXX : 1895-1900). Afathematische Annalen, t. LV (190a).
tains cas, il suffit de supposer que ce sont des fonctions continues des variables x^, x.^, ...^Xn, admettant des dérivées continues, tout au moins dans certains domaines de l'espace à n dimensions. Nous appellerons encore élément, linéaire intégral de ce système tout élément linéaire (dx^, dx^, ...,dxn), issu d'un point (x^, x^, ..., Xn), pour lequel les </j?/ vérifient les équations (i). Une multiplicité intégrale du système est une multiplicité ponctuelle de l'espace à n dimensions dont tous les éléments linéaires sont intégraux. Si cette multiplicité M„/, est définie par p relations distinctes
(2) /i(Xi, . . ., a?n) = o, fp{x^, . ..,Xn)—o, {p<n),
les équations du système (i) doivent être des conséquences des équations (2) et de celles qui s'en déduisent entre les dxi,
(3) dJ\ = o, ..., dff,^o.
Lorsque les coordonnées {x^^, x^, . . . , Xn) d'un point de M„p sont exprimées au moyen de p = n — /) paramètres h^, u^, . . ., a , '
les équations (i) devront être vérifiées identiquement quand on y remplace Xi par cf, et dxi par -' du^ + • • • + '' du , et les fonc-
tions cpj, cp^, . . ., On doivent vérifier le système de rp équations aux dérivées partielles ainsi obtenues.
On peut toujouis supposer que les r équations du système (i) sont linéairement distinctes; c'est ce que nous ferons désormais, à moins de mention formelle. On a donc r-^n; si r = n, les équations (i) donnent dx^ = 0, . . . , dxn = o, et n'admettent pas d'intég-rales, sauf peut-être des multiplicités dont tous les points annulent le déterminant des coefficients Xih Q). Si r ::= n — i, le
(') Les équations (i) sont supposées linéairement distinctes, c'est-à-dire que tous les déterminants à r lignes du tableau
; Xii,Xi2, . . ., Xin X2i,X22> . • ■ j Xsn
Xri,Xr2) . . .5 Xrrt ne sont pas identiquement nuls. Soit M^^ une multiplicité ponctuelle à p
