CHAPITRE VI. — CLASSE d'u>' SYSTÈME DE PFAFF

système (i) est identique à un système de n — i équations diflFérentielles ordinaires entre n variables ; il admet donc une famille de multiplicités intégrales à une dimension dépendant de n — i constantes arbitraires, et peut être, par un chansrement de variables, ramené à la forme

(4) ^/i = o dfn-i=0,

fi^fî-> '--ifri—ï étant n — I fonctions indépendantes des variables xi. Lorsque r est inférieur k n — i, le système (i) admet toujours une inBnité de multiplicités intésrrale- à une dimension, car on peut adjoindre aux r équations du système n — r — i équations de même forme à coefficients arbitraires, choisies de façon à former avec les premières un système de « — i équations distinctes, c'est-à-dire un système de n — i équations différentielles ordinaires. Ces intégrales dépendent de w — r — i fonctions arbitraires d'une variable. Si, par exemple, le système (i) est résolu par rapport à ctr^, dœ^,...,dxr, on peut choisir poura;r-|-i, ..., o^n- ides fonctions arbitraires de Xn, et Xj, — Xr sont déterminés par un système d'équations différentielles ordinaires.

Le système (i) peut être, d'une infinité de manières, remplacé par un autre système de même forme admettant les mêmes intégrales. Posons en efl'et

Q,- = A,j<Oj + .. . 4- Vwr (/ = 1 , 2, ..., r),

les coefficients 'f^k étant des fonctions des variables x^, ..., Xnt dont le déterminant est différent de zéro. 11 est clair que le système

(i*) i2i = o, ..., Qr=o

admet les mêmes intégrales que le premier système et inversement.

dimensions, telle que les coordonnées de l'un quelconque de ses points annulent tons les déterminants d'ordre o du tableau (T) (o^ r) ; les coordonnées d'un point quelconque de cette multiplicité peuvent s'exprimer au moyeu de p paramètres a,, ...,Bj^ et en remplaçant .r,- et dxi par leurs expressions dans les équations du système S, on est conduit à un nouveau système de PfafF de o — i équations à p variables.

On pourrait opérer de la même façon pour obtenir les inté^ales du système S qui appartiennent à une multiplicité donnée quelconque à moins de R dimensions.

De pareils systèmes sont dits équivalents. En particulier, on peut toujours remplacer un système de Pfaff de r équations par un système de r équations résolues par rapport à r des différentielles dxi. On s'est d'abord proposé de trouver le nombre maximum de dimensions que peut avoir une multiplicité intégrale de S. Ce nombre est évidemment au plus égal an — r, et ce maximum n'est atteint que si S est un système complètement intégrable, tout au moins quand il passe une intégrale k n — r dimensions par un point quelconque de l'espace (n*^ 16). Dans le cas général, il semblerait naturel de raisonner comme il suit. Si le système S possède des intégrales M à p dimensions, on peut supposer n — p des variables XI exprimées au moyen des p variables restantes, x^^, •'•■,x par exemple. Soient

Xi = <:ji(Xi,...,X^) (/=:p-|- I, ...,7l)

les équations de cette multiplicité. En remplaçant x , ..., Xn et dx , ...,dxn par leurs expressions dans les équations (i), et en

égalant à zéro les coefficients de dxi, ..., dx , on a un système

de pr équations aux dérivées partielles pour déterminer les n — p fonctions inconnues. En admettant que ces équations sont compatibles, pourvu que leur nombre soit au plus égal au nombre des fonctions inconnues, il faudra que l'on ait

rp<n — p, ou P<;n^'

pour qu'on puisse affirmer qu'il existe des intégrales à p dimensions. Le raisonnement manque évidemment de rigueur, quoique la conclusion soit exacte, lorsque les coefficients X;a: sont quelconques. Mais on n'obtient ainsi qu'une limite inférieure de la valeur maximum de p.

Von Weber et Cartan ont étudié la question d'une façon beaucoup plus approfondie, et obtenu des résultats très généraux. Leurs recherches sont basées sur l'emploi de certains systèmes covariants du système S.