Premier système associé. — Soit M^ une multiplicité

intég^iale (p> i) du système S : soient {dxi dx^), (8x1, ..., 8a?^)

deux éléments linéaires issus d'un même point (j?i, Xj. .... x^)i et appartenant à cette multiplicité. Ces deux éléments linéaires satisfont (n" 3) aux r relations

(5) ti)', ^ o, . . . , to'r= o, bi'ii ayant la même signification que plus haut

w'f, = Bui/,(d) — d<o/i{^) .

Nous dirons encore que deux éléments linéaires intégraux (djci) et (Bxi) sont en involution quand ils vérifient les r relations (5). Les équations qui expriment que deux éléments linéaires sont intégraux et en involution

( <^i(d)=o, . . .,wr((i) = o,

(6) < toi(5) =0, .... a)r(8) = o,

forment le premier système associé à S. Les ar premières équations forment deux groupes de r équations distinctes, mais les r équations de la dernière ligne ne sont pas toujours distinctes entre elles, et quelques-unes peuvent être des combinaisons des premières, comme nous le verrons par la suite.

Le système (6) reste le même quand on remplace le système (1) par un système équivalent. Si l'on pose en effet

(7) Qi = hi<»i + ... + >-/rWr. (/= 1 . 2, ..., r)

on en déduit

Û'/= aû/(«0 — dQi{B) = À/i5wj(c0 + . -.

-I- lir^u>r(d) + i»^{d)oli^ + ... + «r(rf)5A,>

+ (^r(d)iXr — Wi(8)cD.,i — ... — a)r(8)<A,>,

et les équations (6) entraînent les équations de même l'orme

(60 j iî,(5j=o, ..., S2,(8)=:o,

Inversement, si le déterminant des coefficients lik n'est pas nul, on tire des relations (7)

(7') w« = p./iiii + ... 4- l^/riV («■= I, 2, ..., r),

les coefficients p.jft étant des fonctions de a^^, ..., Xn, et les relations (6') entraînent les relations (6).

Supposons de même que l'on effectue un changement de variables œi = (!^i{i/i, y 2, . . ., yn), et soient

Mi=:Yi^dy^ + ... + Yindyn

la nouvelle expression de la forme w; au moyen des nouvelles variables. D'après la propriété d'invariance du covariant bilinéaire, le système (6) est remplacé par le système de .même forme déduit du système de Pfaff obtenu en faisant le chang-ement de variables dans les équations ( 1 ). En d'autres termes, le système {G) est un covariant du système de PJaff S, relativement à tout changement de variables.

66. Caractéristiques. — Parmi les éléments linéaires intégraux issus d'un point, il y a lieu de distinguer ceux qui sont en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux issus du même point; ce sont les éléments caractéristiques.

Un élément caractéristique {dxi) vérifie d'abord les r équations (i) ; il satisfait en outre aux équations obtenues en écrivant que les r équations (6) de la dernière ligne, considérées comme des équations linéaires en Sx^, Sa?,, • • -, Saî„, sont des conséquences des r équations de la ligne précédente qui, par hypothèse, sont distinctes. Imaginons ces 2r équations ordonnées par rapport à ^Xi , ..., S,r„;