a'^^dXi + a'^^dx^ + ••• + a'^ndxn)^x

le covariant bilinéaire de w/. Pour que les r équations w'/ := o soient des conséquences des r équations 6)/(8) = o, où Sxj, ..., ^Xn sont regardées comme les indéterminées, il faut et il suffit que tous les déterminants d'ordre r 4- i déduits des tableaux

Xa X^t

a\^dx^ + a'^^dx^-k- ...-}- a\ndxn, o^^^dx^ + a',2</j?2+ . • ■ + a'^ndxn..

soient nuls. On adjoint ainsi aux r équations w, i= o un certain nombre d'équations nouvelles qui sont également linéaires en dx^, dx^, ..., dx,^. Le système ainsi formé

i^{d)=o,...,oir{d) = o, n^{d) = o, ...,nj^d) — o

est le système caractéristique. Il est évident, d'après sa signification même, que c'est un covariant du système de PfafF relativement à tout changement de variables.

Si le système de PfafF est résolu par rapport à r différentielles, dXi, ..., dxr par exemple, on peut former plus simplement les équations qui définissent les éléments caractéristiques, en portant dans &)',, ..., m't les expressions de àx^, ^x^, ..., ^Xr tirées des équations w,-(8) = o, et en égalant à zéro les coefficients de 8j?r+i, •••. 8j?n après la substitution. Le système (S) contient au moins r équations linéairement distinctes, et il en contient au plus n. S'il en contient n, ces équations n'admettent pas d'autre

solution que dxi = o, et il n'y a pas d'éléments caractéristiques. Dans tout autre cas, il y a des éléments de cette espèce.

Quel que soit le système de Pfaff S, le système caractéristique (8) est complètement intégrable.

Pour le démontrer, nous suivrons exactement la même marche qu'au n^ 5. La proposition est évidente si le système contient n ou n — I équations linéairement distinctes. Supposons que ce système contienne seulement n — p équations linéairement distinctes (/)> i). On peut alors trouver, et d'une infinité de façons, une famille de courbes caractéristiques (c'est-à-dire de courbes dont tous les éléments sont caractéristiques), dépendant de /i — i constantes arbitraires, de façon qu'il passe une de ces courbes par un point arbitraire. Imag-inons que l'on ait effectué un changement de variables tel que les équations de cette famille de courbes caractéristiques soient

^i=Gi, ..., ^«i = C„i,

la variable ijn pouvant être choisie à volonté, pourvu qu'elle forme avec y^, y^, . .., yn—i un système de n fonctions indépendantes des premières variables. Le système (8) se transforme en un système où ne fig-ure pas la difféi^entielle dyn, puisque ce système doit être vérifié quand on y remplace y^^, y^, ..., yn—i par des constantes quelconques. En particulier les équations du système de Pfaff (i) ne contiendront pas dyn après la transformation. Supposons ce système résolu par rapport à c^^j, dy^^ ..., dyr,

ai=zdyi—[Yi,r+idyr+i-\' ... -f Y/,„iû??/n^i] = o (i= i,2,...,r). Les relations

a'i = 8Y;, r+idyr+i + .. . -f 8Y/, n-\dyn-\

— dYi, r+i^yr+i — ••• — dYi^ n-\^yn-l = O

doivent être vérifiées par tous les éléments linéaires intégraux 8^' du nouveau système quand on prend dyi = o, ..., dyn— i = o. Or, le coefficient de dyn après cette substitution est, au sig'ne près,

&Yj, r+i s, , , îvY;, «i 5;