CHAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF

il faudra donc que l'on ait

^yn ~^' ■■■' ^yn ~^'

et la variable yn ne fiarure plus dans le système de Pfaff après le chang-ement de variables. Il est évident que les équations qui définissent les éléments caractéristiques ne contiendront elles-mêmes que^j, y^, ..., yn—u dy^, ..., dyn—t, et formeront encore un système de n — p équations linéairement distinctes, puisque ce système se déduit aussi du système (8) par un changement de variables. Après p — I transformations de cette espèce, on sera donc ramené à un système de n — p équations an — p -\- i variables, c'est-à-dire à un système complètement intéarrable.

Pour donner une application de ce résultat, supposons que le système de PfaflF S soit complètement intégrable. On peut alors, par un changement de variables, le remplacer par un système équivalent

iij = dyi = o, ..., iîr = dyr ^= o ;

les covariants bilinéaires a'j, ..., fi'» sont nuls identiquement, et le système caractéristique se confond avec le système de Pfaff luimême. Donc, pour un système de Pfaff complètement intégrable, tout élément intégral linéaire est un élément caractéristique.

Réciproquement, tout système dé Pfaff, pour lequel cette condition est satisfaite, est complètement intégrable. En effet, les équations du système (8) se réduisent alors aux r équations du système de Pfaff lui-même. Puisque ce sy.<;tème caractéristique (8) est, on vient de le démontrer, complètement intégrable, il en résulte que le système de Pfaff est complètement intégrable.

On peut encore énoncer cette proposition comme il suit. Pour que le système de Pfaff (i) soit complètement intégrable (•), il faut et il sujfit que les r équations w'j = soient vérifiées par deux systèmes quelconques d'éléments (dxi), {Bxi) qui vérifient respectivement les 2r équations «^(rf) =o, w/,(à)=zo.

Nous appellerons dans la suite variable caractéristique toute

(') Cette condition a été donnée par Frobkxics sous une forme équivalente {Journal de Crelle, t. LXXXII, 1887, p. 3/6). Il est aisé de voir que le dernier énoncé s'applique aussi au cas où les r équations du système de PfaflF ne sont pas linéairement distinctes.

268 LKÇONS SUR LE PROBLÊME DE PFAFF.

intégrale du système caractéristique, multiplicité caractéristique toute multiplicité dont tous les éléments linéaires sont caractéristiques. Si le système (8) se compose de y<; « équations linéairement distinctes, les multiplicités caractéristiques d'ordre maximum sont an — y dimensions, et toutes les multiplicités caractéristiques d'ordre inférieur an — y s'obtiennent en prenant une multiplicité arbitraire sur une multiplicité caractéristique d'ordre maximum.

67. Classe d'un système de Pfafif. — La classe d'un système de Pfaft" est le nombre minimum de variables que l'on puisse laisser figurer dans les équations de ce système par un chang-ement de variables convenable, deux systèmes équivalents étant reg-ardés comme identiques. La classe est égale à l'ordre du système caractéristique (cf. n" 14), c'est-à-dire au nombre des équations linéairement distinctes du système (8). Supposons en effet que ce système renferme y équations linéairement distinctes (r-^y<^n). Comme il est complètement intég-rable, nous pouvons supposer qu'on ait pris un système de variables indépendantes (yj, y 2, ..., yn) tel que le système caractéristique soit équivalent au système >

dy 1=0, ..., dy^^ = o.

Après ce chang-ement de vai^iables, dy ,^, ..., dyn ne doivent pas figurer dans les équations du système de Pfaff' transformé, puisque l'élément linéaire (dyi==-o,...,dy=^o^dy,^,...,dyn^ est un

élément intégral, quels que soient dy ,^, .. ., dyn- Si nous supposons le système de Pfaff' résolu par rapport à r différentielles, dy^, ..., o?yr par exemple,

dyi = Y,-, r4 1 dyr+i -i- . . . +Y .^dy^, {i =1,2, .. ., r)

on démontrera comme au paragraphe précédent que les coefficients Yi^r-{-i, •■', Y. doivent être indépendants de y^tJ, ■••, yn,

et par suite les équations du système transformé ne renferment que les y variables //j, . . . , y , et leurs différentielles.