CHAPITRE VI. CLASSE d'cN SYSTÈME DE PFAFF

Oa ne peut -mettre le système de PfafF sous une forme où figurent moins de y variables. En efiFet, si, par un chansreraent de variables convenable, on a mis le système de Ptaff sous une forme où fig-urent seulement q variables z^, z^, ..., Zq et leurs différentielles, les équations du système caractéristique, qui sont linéaires en dz^, dz^. ...,dzq, contiendront au plus (f équations linéairement distinctes. On ne peut donc avoir </<Ct-

Si, en procédant de deux façons différentes, on a mis le système de Pfaff sous deux formes équivalentes, l'une ne renfermant que les y variables (i/i, y^, ..., y,) et leurs ditTérentielles, l'autre ne

renfermant que y variables /r^, z^, ...,z \et leurs différentielles, le système caractéristique peut lui-même être mis sous les deux formes équivalentes

dy^ = o, ..., dy,^ = o, ou

^^1=0, ..., dz^=o.

Il en résulte que 2^1, -», -.-^z, sont des fonctions de y^yy^, ...,y ,

et l'on passe d'une des formes du système de Pfaft à l'autre par un simple chanarement de variables effectué sur y variables seulement. Lorsqu'un système de Pfafi' de classe y a été mis ainsi sous une forme où n'entrent que y variables et leui's différentielles, nous dirons qu'il a été ramené à une forme réduite. 11 suffit, pour mettre un système sous forme réduite, de prendre pour variables indépendantes un système de y variables caractéristiques distinctes.

Dans le cas où y = «, toutes les variables sont caractéristiques, et l'on ne peut diminuer le nombre des variables qui fig-urent dans les équations du système. Si '{=r, nous avons vu que le système est complètement intégrable. On ne peut supposer y = r-|- i. En effet tout système de r équations de Pfaff où fig'urent seulement r + I variables est complètement intégrable, et par suite de classe r. Le cas le plus simple, après celui des systèmes complètement intég'rables, est donc celui oùy=r + 2, qui sera étudié plus loin (chap. VII).

Les théorèmes établis plus haut sur les multiplicités caractéris-

tiques d'une équation de Pfaff s'étendent immédiatement aux systèmes de Pfafî, et s'établissent de la même façon (n" 17).

Le lieu des muliipliciiés caractéristiques d'ordre maximum passant par tous les points d'une intégrale M d'un système de

Pfaff est une nouvelle intégrale M' dont l'ordre est au plus égal àp + y.

Les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont engendrées par des multiplicités caractéristiques d'ordre maximum.

La définition du rang d'une fonction y(a?j, x^^ ..., Xn) relativement à une forme de Pfaff (n** 11) s'étend sans difficulté à un système d'équations de Pfaff. On dit qu'une fonction y est de raujo;- p relativement à un système de Pfaff S lorsque, en établissant entre les variables Xi et leurs différentielles les relationsy=C, dJ'=zo, le système S se chang-e en un nouveau système de classe y ■ — p. On voit im.médiatement que p est nul si y n'est pas une intégrale du système caractéristique, et que p est au moins ég-al à un, si/ est une intégrale de ce système. Mais le nombre p peut être supérieur à un. Prenons par exemple le système de classe cinq

les fonctions x^, x^, Xr, sont de rang- /ro/.s, tandis que x^ et ic^sont de rang- un. La proposition suivante S(> démontre de la même façon que le théorème analog-ue relatif aux formes symboliques (n" 38).

Le rang d'une Jonction f relativement à un système de PJaff S est égal à y — yj + i, y étant la classe de S, yj la classe du système Si obtenu en adjoignant l'équation dj'= o au système S .

D'une façon g-énérale, supposons que l'on ait obtenu p intég-rales y, ...,/'jjda système caractéristique. Si l'on fait un chang-ement de variables de façon que ces intég-rales soient/» des nouvelles variables y^, •■•, y^, par exemple, le nouveau système de Pfaff", où l'on fait yi = Ci, dyi=o, est au plus de classe y — p, mais il peut être de classe inférieure. Par exemple, si ce nouveau système est de classe r, il sera complètement intég"rable.

On peut aussi quelquefois simplifier l'intég-ration du système caractéristique, à l'aide de certains systèmes covariants. On en verra un exemple plus loin (n*' 76, p. 3ii).