CHAPITRE 1. FORMES CANONIQUES

Le système S^ est complètement iniégrable.

Si ce système comprend r équations linéairement indépendantes, ces r équations sont équivalentes à un système de la forme

dfi ^ o, rf/^j = o, .... dfr = o,

fiifi-, ■•■,fr étant r fonctions distinctes des variables x^,...,x^. Le théorème est évidemment exact si A n'est pas nul, car le système S^ est équivalent aux n équations

dx^ = o. dx^ = o, . . . , dx^ = o.

Il est vrai aussi si le système Sj ne contient que n — i équations linéairement distinctes ; ces équations forment alors un svstème de n — I équations différentielles ordinaires et admettent par conséquent n — 1 combinaisons intégrables distinctes

dj\ = o. df, = 0. .... df^^ = o.

Prenons le cas où le système S, ne contient que r équations linéairement distinctes (r <in — i). Adjoisrnons à ces r équations un système de n — r — i équations linéaires

Aiidx^ -}- ... -i- Aindxn = o, (/= 1,2, ..., n — r — i),

dont les coefficients sont des fonctions des variables Xi, choisies de façon à former avec les r équations de Sj un système de n — i équations différentielles ordinaires distinctes. L'intég^ration de ce système donne une famille de multiplicités intéarrales à une dimension du système Si dépendant de n — i constantes arbitraires. Soient

/i ^^ ^1' Ji ^^ ^ï' •••» yit— 1 = C„i

rintégrale générale de ce système auxiliaire. Ima&rinons maintenant que l'on fasse un chansrement de variables, en prenant un nouveau système de variables (^j, y,, ,.., y^) où y^ -=J\. H'^^fv» •••» ^K-i =/«-!> 1^ dernière variable y„ restant arbitraire, à condition déformer avec y^, y^, ...,y„i un système de n variables indépendantes. Par ce changement de variables, la forme donnée to

est remplacée par une nouvelle forme ^^ Xidyi, où l'on peut tou-

jours supposer que le coefficient Y„ a l'une des valeurs zéro ou un. En effet, si Y„ n'est pas nul, on peut écrire

et si l'on a pris U à la place de i/^ pour la dernière variable indépendante, la forme m devient, après le chang-ement de variables,

coii) = Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i + dy,.

Quant au système Sj^, il est remplacé par le système SjO, qui doit être vérifié quand ony fait ?/^ = Cj, ..., ?/„i =G^,,, ?/„ étant une variable indépendante, quelles que soient les constantes Cj, C^,

G 1 On a donc hm = — '- == o pour toutes les valeurs de

l'indice i, et les coefficients Y/ sont indépendants de la variable y .^. Le système 8^(1) se compose donc de n — i équations où ne fissurent que les n — i variables y^, ?/.,, . .., y n^^,

(22) biidy^ -f •••, 4- bi.n-idyn-i = o (/ = 1,2, ..., n — 1),

et nous avons avons remplacé un système de r équations à n variables par un système équivalent de r équations an — i variables seulement. Sir = n — 2, le nouveau système est complètement intég-rable, et par suite il en est de même du premier. Sir<^n — 2, le nouveau système (22) se déduit de la forme de Pfaff à n — i variables Y^dy^ + . . + Y.^^dy,^i de la même façon que Sj se déduit de la forme primitive. On pourra donc recommencer la même transformation sur le système (22), et ainsi de suite. Il est clair qu'on finira par obtenir un système équivalent à Sj de r équations à r -f- I variables, c'est-à-dire un système complètement intég-rable. La proposition énoncée est donc établie.

Gela étant, imag-inons que l'on fasse un chang-ement de variables de façon que dy^ =0, ..., dyr = o soient précisément r combinaisons intég-rables distinctes du système S^'*). Ce système devant être vérifié quand on y remplace dyi, ..., dyr par zéro, quelles que soient les valeurs de dyr+\, ..., dyn, on a