CHAPITRE rt. — CLASSE d'uî» SYSTÈME DE PFAFF

Exempte. — = Soit Sa un système de deux équations de Pfaff à cinq variables,

i (ù^ = A^dœ^-\- Afdx^+ ... + A^dx^ = o, ^ l 0),= B^dx^ + B^dx, + ... + Bjrfxj = 0 ;

nous supposerons, pour fixer les idées, que l'on peut résoudre ce système par rapport à dx^ et dx^. Dans les covariants w'j, w'g, on peut remplacer dx^, dx^, 6x^, 8x5 par leurs expressions tirées des équations &>,•(</) = 0, ci>,-(8)=o, et l'on obtient deux conditions de la forme ci-dessous pour que deux éléments linéaires intégraux soient en involution :

b)\=Ci{dx^6x^ — dx^àXf) 4- Cf^dx^^i — dXi^x^)

+ C^i^dx^^x^ — dx^ùXi)=o, oi'^=D^{dx2^X3 — dx^Bx^) + D^{dx^6xi — dx^Bx^)

-\- D3{dx^6x^ — dXi^Xi)=o.

Considérons (dxi, dx^, dx^), (Sx^, Bxg, 8x3) comme les coordonnées homosrènes de deux points m, a d'un plan, et soient Pi. P^les points de ce plan de coordonnées (C^, Gj, G3), (D^, Dg, D3). La relation w', =0 exprime que les points m, u., P, sont en ligne droite, et la relation <i)'2^o exprime que les points aw, a, P, sont en ligne droite. Pour qu'il y ait un élément caractéristique, il faut et il suffit que les deux points P^, P^ soient confondus, ou que Ion ait

Cj Cj Cj

le système est alors de classe quatre. Il en est ainsi en particulier si l'une des équations bi\ = o, fc)'j=o est vérifiée identiquement. Si les deux relations sont vérifiées identiquement, le système est complètement intégrable (voir n*' 65).

Considérons en particulier le système

( wj = dv + Arfa -f Brfa; -{- Cdy =. o, ( Ui=: dw + Aidu + Bido; + Cidy = o.

où les coefficients A, B, C, Ai, Bj, Ci sont des fonctions des deux variables x,y seulement. On a

w'i = ^^— — ~ j {dxBij — dijSx) — ~ {dySu — dhSij)

-\ (duSx — dxSu) := o,

tyx

^Bi DCi

3y Djî

j {dxSij — dijS.T) "^ [dijSu — duSy)

-\ {duSx — dxSu) = 0.

Pour qu'il y ait un élément caractéristique, il faudra que l'on ait