CHAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAPF
ques de même degré, et w,. w^, ..., w^ des formes de degré quelconque, dont chacune est de desré inférieurou au plus égal à celui de il. Si l'on peut trouver de nouvelles formes r.^, ...^tz^ telles que l'on ait identiquement
Dous écrirons cette relation sous forme de cong-ruence
iï ^ n (mod. Wj, Wg, .... w ) ;
il est clair que la congruence précédente entraîne la suivante,
n'z^Il' (mod. Wj, ..., Wp, w'j, .,,, (u'j,),
d'après la règle qui donne la forme dérivée d'un produit symbolique (n» 26).
Supposons en particulier que o soit le covariant bilinéaire d'une forme de PfafiF w, et que w^, w,, ..., w^ soient aussi des formes. de Pfaff.
La congruence
w'^o (mod. w^. Wg, ..., w),
équivalente à l'égalité
w' = ';r,fc)j + -gtoj + ... 4- Tî^Wp,
où -îîi, iTj, ..., it sont de nouvelles formes de PfafiF, exprime que deux éléments linéaires quelconques {dx^^, dx^, ..., dx^, (^ar^, Sjîj, ..., 8ar„) satisfaisant aux relations
(ùi{d)z=0, w,-(8)^o, (/= I, 2, ...,/j)
sont toujours en involution relativement à l'équation b) = o. En effet, le produit symbolique T.^w^ par exemple représente la différence des deux produits
6>,(t/)rj^o)— o>i(5jîîi(É0,
et par suite ce produit symbolique est nul si l'on a à la fois b)j(£/)^o, Wj(8) = o. Il en est évidemment de même des autres produits ti>j-rc,-.
Cela posé, soit S un système de Pfaff de r équations
ti»j = o, w^^o, ..., wr = o; G. Pmb. ' 18
aux r formes ojj, Wg, ..., Wr adjoig'nons p = n — /* formes nouvelles Tn^, TOj, ..., ro^, de façon que les r + p=:n formes w,-, to^ soient
linéairement distinctes. Toute forme symbolique il de degré quelconque, et en particulier tout covariant bilinéaire w';, peut s'exprimer symboliquement au moyen de ces n formes. Si l'on réunit ensemble les produits symboliques où ne fig^urent que les formes
TTJ^, njg, ..., ra„, le covariant w'/ peut s'exprimer de la façon sui-
vante,
w'j = TT/^OJ j + . , . -f TiirOir + ^ Ai/i/cW/iW/^, (/i, A^ = 1 , 2 , . . . , p)
les -Kiii étant d'autres formes de Pfaff, et les coefficients Aihk étant des fonctions des n variables .X'/. Nous écrirons ces ég-alités sous forme de cong-ruences,
w' i ^2^Aih/crshm/c (mod. o)j, Wg, ..., Mr), {î = I, 2, ..., r).
Dans les paragraphes précédents, nous avions supposé que les r formes w^, w^, ..., w^ étaient linéairement distinctes relativement aux différentielles dx^^, ..., dxr, et nous avions pris T!Tj = ûfiCr+i, .... 7CT =dxn, mais il n'est pas nécessaire que ces formes auxiliaires nr^, T02, ..., w soient des différentielles exactes. Il suffit qu'elles forment avec w^, . . ., w^ un système de n formes linéairement indépendantes. Tout système de valeurs de TOj, tsj' •••' ^p définit un élément intégral du système de Pfaff. Pour que deux éléments linéaires intégraux {dx^, dx^, ..., dxn), (Sa?^, ..., ^Xn) soient en involution relativement au système, il faudra, d'après une remarque antérieure, que l'on ait les r relations
2 Aihk \ ■^h{d)TSk{P) — T^h{d)T^hi^) ? = o (i = 1 , 2 , . . . , r) .
Cherchons encore comment seront déterminés les éléments caractéi'istiques. La forme symbolique
Zj Aihk^h^k h,k
