CHAPITRE VI. — CLASSE DUN SYSTÈJIE DE PFAFF
étant de rang- pair 2v peut être ramenée à une forme réduite
n,n2 + rijn^ + ... -î- n^.,in^.,,
rii, Ilg, ..,,112, ét^ïit 2v formes linéairement distinctes qui s'expriment linéairement au moyen de.cij, ..., cr^. Tout élément intéarral (rfx^, ..., djc^) qui satisfait aux 2v relations n, t=o, ..., n^,.^=: o
est en involution avec tous les éléments linéaires intéerraux du système relativement à Téquation a)/= o. En efifet on a
nin^ = ni(d)ni{o) — n,(d)ni{ù)=o,
quel que soit l'élément intégral {^Xi, ..., ^x^)- Inversement, soit (5xi, ..., 8x„) un élément linéaire intégral quelconque du système, nj(8), .,., ri,.^(à) ont des valeurs arbitraires pour cet élément, et le polynôme symbolique
n.n, + ngn^ + ... + n..,.!»,.,
ne peut être nul quel que soit cet élément intégral que si Ton a
On a démontré antérieurement (n" 32) que les 2v équations 11,= o sont équivalentes aux équations
y. A/iA-TOA: = O , ^ Aj2AI!JA- = O, . . . , ^ A,oA-TîJA- = O .
En faisant successivement i=i,2 /•, ou obtient un système d'équations qui déterminent les éléments caractéristiques. Pour qu'un système de Pfaff soit complètement intégrable, il faut, et il suffit que tous les éléments linéaires intégraux soient caractéristiques, c'est-à-dire que tous les coefficients Aja/i soient nuls. On a alors les r congruences
wV^o(mod. W), wj, . . . , (Or),
et inversement ces r congruences expriment que le système est complètement intégrable (*).
(*) Cartan, Bulletin de la Société Mathématique, p. 348, t. XXIX ^igoi).
276 LEÇONS SUU LE PHOBLÈME DE PFAFF.
69. Exemples. — lo Considérons le système de deux équations simultanées du second oïdie
(9) i'=J\x,iJ,z,p,q,s), l = o{œ,y,s,p,q,.s);
à toute intégrale de ce système correspond une intégrale à deux dimensions M, du système de Pfaff à 6 variables x, y, z, p, q, s.
(10) (0, = pd.v + qdy — f/s = o,
0)2 z=zj'dj' -\- sdy — c//> = o , 0)3 = sdx + 9c/// — c^r/ = o .
Inversement toute inlég-rale M2 du système (10) donnera une intégrale des équations (9), pourvu que les équations qui détinissent M2 ne donnent qu'une relation entre x, y, z. Formons w'j, w'2, w'g ; en y remplaçant dz, dp, dq, 5ir, 8/), 8y par leurs expressions au moyen de dx, dy, ô,/-, Zy tirées des équations (10) ellesmêmes, il reste
(o'j = 0, <o'2 = ^ [dx^y — c/yS.r) + — (dx^s — ds^x) -\- dy^s — dsoy, w'3 = y^ [dylx — dxhy] -\- ^(dy^s — ds^y) + dx^s — ùxds, où l'on a posé, pour abréger,
dx ~ dx "^ d7 f' + ?/> -^ + dq ^' (l d d ? ?
dy dy ^ dz^ dp dq '
En égalant à zéro les coefficients de 8a?, 8//, 8.ç dans w'^ et o)'.,, on obtient les six relations suivantes pour définir les éléments caractéristiques
^ -— - dij + — ^ ds=o, -~ dx — c/.s'=o, -— dx -\- du == o,
r -~- c^v — dH= o, -~ o^.r4- — '^ ds = o, -^ du -j- dx=o.
\ dx ^ ' dx ds ds ''
Parmi ces é(|uations, il y en a toujours au moins deux de distinctes ; la classe du système (10) est donc cinq ou six. Pour que le système soit de classe cinq, il faut et il suffit que le système (i i) se réduise à deux équations seulement. En égalant les deux
