CHAPITRE VI. — CLASSE d\'> SYSTÈME DE PFAFF
valeurs de^^ ,.on a une première condition dx *
En ég^alant ensuite les expressions de ds tirées des autres relations, on obtient une nouvelle condition seulement
fix ds aij
Si les deux conditions (12) et (i3) sont satisfaites, les équations (10) et (11) se réduisent à cinq équations; il y a une famille de courbes caractéristiques, déterminées par les équations différentielles
l dy^= — djc, dz = pdx -}- qdij, dp =zfdx + sdy^
f dq = sdok -\- ody, ds = ^ dx.
Toute intégrale à deux dimensions M» est eng-endrée, d'après la théorie g-énérale, par une famille de caractéristiques issues des diflFérents points d'une intégrale à une dimension du système. Il suffira, pour obtenir celles-ci, de trouver six fonctions Xq, //q, 5o, Pai Ço^ *o tl'un paramètre a vérifiant les équations
) r>a 3x >)a du î^9 aa
Le système (g) est dit alors en involution, et admet une infinité d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire. Pour résoudre le problème de Cauchy, c'est-à-dire pour déterminer les intégrales passant par une courbe donnée, on peut supposer x^, y^,, r^ données en fonction de 2 ; les équations (i5) déterminent alors pf^. </<,, 5y par l'intégration d'une é(|ualion différentielle du premier ordre. L'intégrale cherchée M» est le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents points (x^, y^, r^, P(^. q^, s^) ainsi obtenus (•). On remarquera que le problème de Cauchy. admet une infinité de solutions dépendant d'une constante arbitraire.
(1) E. GocBSAT, Journal de l'Ecole Polytechnique, 2* Série, .3' cahier (iSgj), p. 102.
E. Cartan, Annales de f École^ormale Supérieure t. XXVII, J« Série, (igio).
278 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
a'' Soient a et 0 deux fonctions des cinq variables x, //, s, p, q et d'un paramètre u. En éliminant ce paramètre u, entre les deux relations
( .S' — Mf — 0=0,
on obtient une équation aux dérivées partielles du second ordre
dont l'intégration revient à celle du système de Pfaff
( (^^=pdx -^ qdi/ — dz = o,
( 0}., = udq -\- adx + bdij — dp:=^o. . .
En remplaçant dans w'i, oj'2, ds, dp, 85, 5/* par leurs expressions tirées des équations (17) elles-mêmes, et en égalant à zéro les coefficients de 8^3, 8?/, Bq, Sm, on obtient les nouvelles relations
udq -\- bdij=^o, bdx — dq = o, iidx -[- dy=^o,
— dx-\ du -\- dq= o,
q -\ b p — a — ] di/
-f (^ -{- u — \ dq-\- ^du=o,
{- — q -\ b p — a — ) dx
\di/ ' Zz ' dp Do; ds^ Dr//
+ ( \- u — 1 dq au=o,
( a ~ -\- — ) dx -{- ( u 1 ] du — du = o.
Les équations des deux premières lignes donnent i/j: = o, dy = o, dq^=o, à moins que les fonctions a et Z> ne vérifient la condition
Da D16 , ,
du Dm
Si cette condition est vérifiée, on peut poser
b = ^^^-^ du
CBAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF. 2" 9
y étant une fonction auxiliaire de x, y, s, p, q, ii. En écrivant que
les trois dernières équations donnent la même valeur pour — , on
obtient une seule condition nouvelle à laquelle doit satisfaire la fonction <y. Si cette condition est vérifiée, l'intég-ration de l'équation aux dérivées partielles considérée est ramenée à l'intégration d'un système d'équations diflférentielles ordinaires, celui qui définit les caractéristiques du système dePfafiF (17) (•).
3* On a déjà remarqué (n" I8) que réquation de Pfa£F à an variables, dont rintéfirralion est équivalente à l'intéçration de réquation du premier ordre
est de classe 2« — i. Cette équation admet donc des caractéristiques à une dimension, qu'il suffit de déterminer pour que le problème soit résolu.
Considérons maintenant un système normal de /* équations du premier ordre (/• > i),
les seconds membres y*/ étant des fonctions des variables Xi, des /"fonctions inconnues zh, et de leurs dérivées du premier ordre par rapport
aux variables jc^, , a;,,. A tout système d'intégrales des équations (19)
correspond une intégrale à n dimensions M„ du système de Pfaff
(20) W( = fidxi -\-pi-2da--2 + . . . + pindxn — dti = 0 (/ = I, 2, ..., r),
où l'on a remplacé dans y, la dérivée —^ — par phk. Inversement, à toute
multiplicité intégrale à n dimensions M,; de ce système (20) correspond un système d'intégrales des équations (19', pourvu que Xi, J?o, . . ., x,i soient des variables indépendantes sur cette multiplicité. En effet, les relations (20) prouvent que le long de Mn, toutes les variables si, pik peuvent s'exprimer au moyen de a?,, x^., . . ., Xn, et l'on a
?--/ :>:i :szi
(M Pour l'étude des équations de cette classe, et leurs rapports avec les systèmes en involulion (9), voir E. Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre ttome I, p. 210, tome II, p. i64tji), et le Mémoire de E. Cartas cité à la page 277.
280 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Il semble assez naturel de rechercher dans quels cas la méthode de Cauchy est applicable au système (19). H faut pour cela que le système de Pfaff (20) admette des caractéristiques. On a
f.i'i = dfi^Xi ~ ofidXi + dpti^x.^ — dx^,^pi2 4- . . . + dpUi'^Xn — dXnSpin,
si l'on remplace dans dficX ofi les différentielles dzh, ^zh par leurs expressions tirées des équations (20) elles-mêmes, les éléments caractéristiques doivent satisfaire aux relations obtenues en égalant à zéro les coefficients de c?.2;i, . . ., ox.,i, et de tous les Sp/ih, après cette substitution. Le coefficient de Spitk, si h est différent de i, est égal à
^■^' dx,
^phk
Si l'une des dérivées — "^ (i qit h) n'est pas nulle, on a donc, pour ^phk ^ ^ ' ^ ' ' V
un élément caractéristique, dx\:=:o; les équations w'« = o prouvent
alors que l'on a, quel que soit i,
dXi = o, dx2 = 0, . . . , dxn = 0, dpi^ = o, . . . , dpin =^ o, dfi = 0,
et par suite dsir= o, pour un élément caractéristique.
Il ne peut donc y avoir d'éléments caractéristiques pour le système
de Pfaff' (20) que si toutes les dérivées— — sont nulles lorsque h et /
sont deux nombres différents. Le système (ig) doit donc être de la forme
(19) ^^=fi[œ,,œ„...,xn;s,,.,,...,.r;-^,...,-^J,
Cette condition étant supposée remplie, le coefficient de Sph, par exemple dans w'i est
— dxi — dx2 ;
on doit donc avoir, pour un élément caractéristique,
dxi + dx^ =r o.
Oii vient de démontrer que dxi ne peut être nul pour un élément
caractéristique. Il faut donc que -- — soit indépendant de i ; il se réduit
>^pi2
donc à une fonction de x^, x<i, . . ., Xn', r). ..., r„ indépendante de /.
