CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES
si l'un des indices /, A' est supérieur à r. Ces relations prouvent en particulier que, si l'on regarde y^, y^, .... yr comme des paramètres, l'expression
Yr+it/^r+J + ... 4- ^ndya
est la diflférentielie totale d'une fonction U des variables yr-fi, •••,yn, et l'on peut écrire
Yr^idyr-i + ... + Y„dyn = dl]-(^f^^dy, + ... + ^^dyX
La fonction U est distincte des r variables y^, ..., yr. à moins que ^r— 1. ..., Y/i ne soient nuis, et dans ce cas on peut supposer U = o. Dans tout autre cas, on peut prendre U pour la nouvelle variable yr-fi- Les nouvelles variables étant choisies de cette façon, on voit que wt*) a l'une des deux formes
Yjf/y, -I- ... + \rdyr, ^idy^ + ... + "^rdyr + dyr+\.
La condition bih = o, où l'on suppose k > r. devient alors
dY/
^ — = o et prouve que les coefficients Y ne dépendent que des
variables yj, y,, ..., yr. Pour que le système Sj'^' relatif à la forme w'i' soit équivalent aux r équations
dyi =^ o. ..., dyr = o,
il faut en outre que le déterminant
*ii ^«
bu
soit différent de zéro, ce qui exige que r soif un nombre pair, r = ip ; résultat que l'on aurait pu prévoir a priori d'après les propriétés des mineurs d'un déterminant symétrique gauche.
En résumé, le système S^ se compose toujours d'un nombre pair 2/> d'équations linéairement distinctes ; si l'on a pris un nouveau système de variables (y^, ...,yn de façon quey^, ...,ygp soient
2/) intégrales distinctes de Sj, w peut être ramenée à l'une des deux formes
(I) Y,dy, + . . . + ^^^dy^^ + ^^2^+1, (II) Y,dy, + . . . + Y.^dy^^,
Y^, Y2, ..., Ygj, ne dépendanfque des variables yi, y^, ... y^p.
On aura le nombre ajo en cherchant l'ordre des premiers mineurs de A qui ne sont pas nuls. Quant au système complet qui détermine les intégrales de Sj, on pourra l'obtenir en écinvant que l'équation
df:
est une combinaison linéaire des équations du système S^, c'està-dire en égalant à zéro tous les déterminants d'ordre 2/) +• i déduits du tableau
(2,, a, a ... Cti
(Ti)
7>Xi
Le système S^, ou le système complet équivalent, ne sont pas d'ailleurs des systèmes différentiels quelconques, comme nous le verrons plus tard.
Pour reconnaître à laquelle des deux formes (I) ou (II) on peut ramener w, il suffit d'observer que, dans le premier cas, l'équation a)(i) = o est distincte des équations du système 8^(1), tandis que, pour la forme (II), w(i)= o est une conséquence des équations de 8^(1). La forme donnée w pourra donc être ramenée à la forme (II), si l'équation w = o est une conséquence des équations de Si, et dans ce cas seulement. On aura la forme (I) si tous les déterminants d'ordre 2p + i déduits du tableau
«li
a in
«2ra
