CHAPITRE VI. — CLASSE dVn SYSTÈME DE PFAFE

Il y aurait encore lieu de distinsruer les éléments singuliers d'après le nombre des dimensions de la multiplicité formée par les éléments intégraux en involution avec un de ces éléments sinaculiers.

Reprenons, par exemple, un système de deux équations à six variables (n* 70). Si les coefficients de ce système sont quelconques, les deux équations w'j =: o, w'a =: o sont distinctes, et le système est de caractère deux.

La forme symbolique /i^'i — iW^ est de rang quatre ; le nombre o est égal à deiijc, et nous avons vu qu'il y a bien en général deux familles d'éléments sinsruliers. Mais il peut se faire que les deux équations

«j'i ^ o, w'j ^ o (mod. w,, Wî)

se réduisent à une seule. Le svstème est alors de caractère un. Si l'on reprend l'interprétation sréométrique du n" 70, on voit que la ligne droite joignant les deux points m. u., qui représentent deux éléments linéaires intégraux en involution appartient à un complexe linéaire. Si ce complexe linéaire n'est pas un complexe singulier, il n'y a ni éléments caractéristiques, ni éléments singuliers pour le système.

Nous verrons un peu plus loin (n^ 73) que ce système admet alors une combinaison iotégrable, ce qu'il est d'ailleurs facile de démontrer directement ('). Si le complexe précédent se compose des droites qui rencontrent une droite fixe A, tous les points de cette droite représentent des éléments caractéristiques ; il y a donc x * éléments caractéristiques issus de chaque point de l'espace à six dimensions, et le système est de quatrième classe.

CI Annales de Toulouse (iqiS), p. j.