SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

72. Systèmes dérivés. — Soit S un système de Pfaff de r équations oj/ = o. Si l'on adjoint aux r formes de Pfaff Wj, w^, . . . , w^, des formes auxiliaires w^, w^, . . . , to^, où p = ai — r, formant avec les premières un système de n formes linéaires distinctes, on a

w'« ^ 2^ ^ihhmhVJk = ii/, (mod . w^, Wj, . . . , ov) k.k

Les r formes symboliques fi^, fij) •■•> ^V, qui s'expriment au moyen des p formes rni seulement, ne sont pas toujours linéairement distinctes. Si, par exem'ple, on a une identité de la forme

(l) (^il^ + 4^2 4- • . • + lr^r= O,

on aui^a aussi

(4^1 + L'^2 •+■•.•+ Irf^r)' ^ O (mod. W^, , .., Mr),

de sorte que deux éléments linéaires intéo;"raux quelconques du système S sont toujours en involution relativement à l'équation

S'il y a r' relations distinctes et r' seulement de la forme (i) entre ii^, ii^, . . ., £i,., on peut trouver r' équations distinctes du système S, telles que deux éléments linéaires intégraux quelconques de S soient en involution relativement à ces r' équations. Le système S' formé par ces r' équations est appelé le système dérivé de S ; il est formé, comme on voit, par l'ensemble des équations de S telles que deux éléments linéaires intég-raux quelconques de S soient en involution relativement à chacune d'elles. Si l'on a