CHAPITRE MI. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.NGE

écrit les équations de S de façon que les r équations du système dérivé soient w'j = o, . . . , wV = o, on aura :

w'^ E^ w', ^ . . . ^ tù'ri ^= o (mod. w^, w^. . . . , Wr)-

Il est clair que ce~svstème S' est le même pour tous les systèmes équivalents à S, et que c'est un covariant de S relativement à tout chang-ement de variables. Si les r formes o/ sont linéairement distinctes, il n'y a pas de système dérivé ; nous dirons que ce système S' est nul.

Lorsque le système S est complètement intésrrable, le système S' se confond avec S. Réciproquement, si S' se confond avec S, tout élément intégral est un élément caractéristique, et le système est complètement intég-rable.

Soit S un système, non complètement intéerrable, de r équations à r + 2 variables; les covariants bilinéaires s'expriment uniquement au moyen du binôme rfa?r-i-i5a'r-2 — dxrJ^^Xr+\, et par suite le système dérivé se compose de r — i équations. Il en est évidemment de même de tout système de r équations et de classe r + 2, puisqu'on peut le ramener à un système où ne figurent que r -f- 2 variables. La même propriété appartient à tout système de r équations, à un nombre quelconque de variables, admettant r — I combinaisons intégrables distinctes, sans être complètement intég^rable. Il est clair, en effet, que si l'on prend pour ti>i, w^, ..., wr-i ces r — I combinaisons intégrables, on a wi\ = o, ..., wV— i^o(mod. fe)j. Wj, ..., b)r), et le seul covariant bilinéaire qui ne soit pas nul est wV- Ces deux cas sont les seuls où le système dérivé contient une équation de moins que le système primitif (T'o/r n" 73).

Pour un système S de r équations à r -{- 3 variables, on verra de même que le système dérivé se compo.se en g'énéral de r — 3 équations.

En opérant de la même façon sur le nouveau système S', on obtient le système dérivé de S', qu'on représente par S", et qu'on appelle le second dérivé de S ; S" a lui-même un système dérivé S'", qui est le troisième dérivé de S, et ainsi de suite. En continuant ainsi, on finira par arriver à un système S'J') dont le système dérivé S'/'+*> est nul, ou bien à un système S'/*) qui est à lui-même son

propre dérivé, et à partir de S'/') tous les systèmes suivants S'^i'), S'P+'\ ..., sont identiques à S^Ph II est facile de trouver les systèmes S pour lesquels le fait se produira Si le système S'/') est à lui-même son propre dérivé, ce système est complètement intéj^rable ; s'il se compose de q équations, le système S admet donc q combinaisons intégrables distinctes. Inversement, si le système S admet q combinaisons intégrables distinctes, et q seulement, on peut supposer que les q premières équations de ce système sont de la forme

{2) 03, = df, = o, .. ., wy = f//y = o ;

il est clair que ces q équations font partie de tous les systèmes dérivés successifs, et on finira par arriver à un système dérivé équivalent au système (2). Ceci donne un moyen, au moins théorique, de déduire du système S le système complètement intégrable d'ordre maximum contenu dans S.

Il est clair que tous les systèmes dérivés successifs sont aussi des covariants de S, relativement à tout changement de variables.

Exemple. — Considérons le système de trois équations de Pfaff à sept variables x, y, z, p, q, v, s.

W) :=! d: — pdx — qdij = 0, )2 =: dp — rd.T — sdy = 0, m-^ =: dq — sdx — fdy = o,

auquel conduit l'intég-ration de l'équation aux dérivées partielles du second ordre

On a pour ce système

w'i ^ o (mod. Wi, Wg, Mg),

et le système dérivé se réduit à la seule équation w', =: o. En effet w'j contient le terme drSx, et w's le terme ds'Jx, qui ne peuvent disparaître dans aucune combinaison ).(w'2 + aw':j. en tenant compte du système S lui-même. On ne peut donc avoir

)vfA)'2 -j- U&)'3 ^ o ' (mod. Wj, W2, ws)

sans avoir à la fois > ^ tx = 0.

Le système de Pfaff S a donc un système dérivé, composé d'une seule équation de classe cinq.

Inversement tout système de trois équations de Pfaff à sept variables