CHAPITRE VIF. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.NGE
et de classe sept, possédant cette propriété, peut être associé à une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes. Soient en effet
rj>i =o, wj =: o, ojj =: o
un système de trois équations de Pfafl' à sept variables, tel que l'on ait
m'i ^ o (mod. wi, oi^, wj),
l'équation uj ^ o étant de classe cinq. Supposons que l'on ait choisi les variables de façon que cette équation ait la forme canonique
«, =:dz — fdjc — çdy = o ;
les deux autres équations «ji^o, 4)3=: o dépendent en outre de deux autres variables u et v. Pour que l'on ait
6j'j ^ o (mod wi, 'ji>2, wj),
on voit aisément que le système des deux dernières équations 'Oi=zo, wj rro doit pouvoir être résolu par rapport à l'un des couples de différentielles {dp, dq), {dp, dy), {dç, djc), {dcc, dy). Comme on peut, à l'aide d'une transformation de Leg'endre ou d'Ampère, permuter les variables X et p, y et ç, on peut supposer les deux dernières équations du système mises sous la forme
tat=idp — (culx + bdy + cdu -j- gdv) = o, wj =:dq — {aidx + bidy + Cidu -f ffidi") = 0.
Pour que w'i = o soit une équation dérivée du système, il faut et il suffit que l'on ait
et le système est de la forme
wi =:dc — pdx — qdy:=o, ùiiz=dp — adx — bdy^io, us=zdq — Mœ — bidy =z o,
a, b, 61 étant des fonctions de x, y, s, p, q et des deux dernières variables u et V. Ces trois fonctions sont donc liées par une relation F(x, y, r, p, q. a, h, bt) = o; et le système de Pfaff précédent est associé à l'équation au.x dérivées partielles
Reprenons l'équation (3) et le système correspondant S. Soit r(a?, tj) une intégrale de cette équation ; nous poserons pour abréger
pUc
O.X'Oy/'-"
L'équation (3) et celles qu'on en déduit par des différentiations répétées permettent d'exprimer toutes les dérivées pHi au moyen des dérivées /)jo, yOil . En particulier les quatre dérivées partielles du troisième ordre s'expriment au moyen de x, y, z,p, q, s, t,ps(,, p^i.
Si l'on adjoint au système S le système des deux équations qui donnent dr, ds
(1) ^ ^'^ = Piodx+piidr/, l ds =p2idx -\- pi^di/,
on a un système de cinq équations de Pfaff à 9 variables, que l'on appelle le premier système prolongé de S. Si l'on y joint ensuite les deux équations qui donnent rf/>3o, dp^^, on a un nouveau système prolongé de sept équations à onze variables et ainsi de suite. Le système S + 2: a pour premier dérivé le système S lui-même, et pour second dérivé l'équation mj = 0. De même, le second système prolongé a pour premier système dérivé le système S + -, et ainsi de suite.
73. Systèmes de caractère un. — Soit S un système de Pfaff de r équations dont le système dérivé S' se compose de p — I équations. On peut supposer que ce système S' se compose des r — I équations m^^o, . . ., w^ = o, de sorte que l'on a
w',^ ^'3^ • • • "V=: O, (mod. <0i, W2, . . ., w,.).
Le système S est évidemment de caractère «n, car la seule condition que doivent vérifier deux éléments linéaires intégraux pour être en involution est w'i == o.
Inversement, le système dérivé d'un système de Pfaff de caractère un contient une équation de moins que le système lui-même.
Supposons que les équations du système S puissent être résolues par rapport à dx ^^, . . . , dxn (où p = n — r)\ on peut écrire alors
w'/ = 2^ kihk{dxi3xh — dxk^x/i) (mod . w^ , . . . , (Or). . . ,
