CHAPITRE VU. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. TROBLÈME DE MONGE

ce qui revient à prendre dx^, — dx^ pour les formes auxiliaires TOj, cTj, ..., niQ(n** 72). Les r équations &)'/ = o. où l'on considère Sj?,, ..., hx^ comme les inconnues, doivent se réduire à une seule, quels que soient dxi, ..., dx^. Il faut pour cela que tous les déterminants du second desrré du tableau

^Xnhdxh ^Ai8ft</xft . . . 2^Xiokdxk ^Aoifef/jgft VA-Kftf/jîft . . . 2^>>^=iokdxh

^krikdXk Zu^^T^kdXk . . . 2^krokdXh

soient nuls. Supposons par exemple que tous les coefficients Aiaane soient pas nuls. Tous les mineurs du second deçré formés avec les éléments des deux premières llsrnes doivent être nuls, et on a

^ M\.hd.rk ^ A2-2h(f'rk ^ Mokdxk

VAiiferforfe "VAi2ft</j^ft y^Mphdxk

Il faut pour cela que la valeur commune de ces rapports se réduise à une fonction L des seules variables x,, à moins que Ton n'ait

Z^ kuhdxh = mi V Aiiftf/xft,

(iz=2,3, ...,p),

2^ Xqikdxk = «2, y] A^kdxk,

les coefficients w/ ne dépendant que des variables. Cette dernière hvpothèse est à rejeter. En effet, toutes les formes de la première ligne du tableau devraient être identiques à un facteur près. Or la première forme ne.renferme pas dx^, la seconde ne renferme pas dx.2, ..., la dernière ne renferme pas dx^. Toutes ces formes

seraient donc nulles, contrairement à l'hypothèse. Il s'ensuit que toutes les formes de la seconde lig"ne du tableau ne diffèrent des

formes correspondantes de la première lig-ne que par le facteur Z^, et l'on a

^'2^/2^'^ (mod. o)j, Wg, ..., 0)^).

On démontrerait de même que l'on a

oy'i=l.-ti^\ (mod. 0)^,0)2, ...,00^;, (/ = 2,3, ...,r)

et par suite

{<<H — /jWj)'= o (mod. Wj, ojj, ..., ù)p).

Le système S admet donc un système dérivé formé des r — i équations

w; — //Wj=o, (/ = 2, 3, ..., r).

On a déjà fait observer plus haut (n*^ 72) que tout système de Pfaff de r équations qui admet r — 1 combinaisons intég-rables distinctes, et tout système de Pfaff de r équations et de classe r + 2, sont de caractère un. M. von Weber (^) a démontré que ce sont les seuls systèmes de caractère un.

Supposons encore le système mis sous une forme telle que l'on ait

w'2 ^O, ..., M'r ^O (mod. Wj, tOj, ., , tùr).

On a par exemple

w'2 =1^^^^ 4- TTgWg + ... + Tir^r,

■jTj étant une forme de Pfaif qui ne peut s'exprimer linéairement au moyen de wj, cog, ..., w^, si elle n'est pas nulle identiquement. En prenant les formes dérivées des deux membres, il vient

et en remplaçant w\, w'g, , . ., wV par leurs expressions au moyen de W|, 0)2, ..., 6),., on voit que l'on a

TTjW'j^O, (mod. Wj, W,, ..., Wr).

De cette relation on déduit que le produit symbolique w'^tt^w^ ... o^ est nul, ce qui exig-e que l'on ait .

^^\ = Xl^l + T^Y^i + . . . + Ti7/-W,.,

(') E^ voiv Webkk, Zar invariantentheorie der Système Pfaff scher Gleiclninfjen (Leipsiç] Berichie, pp. 20^-3 a f), i8f)8).