CHAPITRE Vil. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

puisque les formes r.i, w,, ..., Wr sont linéairement distinctes (n" 24;).

Tous les élémeats linéaires intéjairaux qui satisfont en outie aux deux relations -rrj^o, /i = o sont donc en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux, et le svstème S est de classe r-f- 2.

Pour que la conclusion soit en défaut, il faut que la forme Xj soit nulle. Le système S peut alors être déclasse quelconque, mais le raisonnement prouve que si S est de classe supérieure k r -\- 2, on a t:^ = o, c'est-à-dire oj', ^ o (mod. Wj, ..., Wr)- On démontrerait de même que l'on a, dans ce cas,

w'3^0, ....w'r^O (mod. Wg, ..., <i)r)-

Le système dérivé formé des r — i équations

est donc complètement intég"rable.

Remarque. — Si le système dérivé S' d'un système S de r équations comprend r' équations distinctes. le caractère de S est au plus égal à r — /•', car les r — r' équations qui expriment que deux éléments linéaires intégraux sont en involution ne sont pas nécessairement distinctes. Il revient évidemment au même de dire que, pour un système de r équations et de caractère s, le nombre des équations du système dérivé est au plus égal à r—s. Mais il peut lui être inférieur. Prenons par exemple un système S de a* équations et de classe r -f- 3 ; pour la question qui nous occupe, nous pouvons supposer que les équations ne renferment que r -(- 3 variables, et qu'on les a résolues par rapport à dx^, ..., djCr+3. On a alors

to'i=Xi(dœi^x^ — dx2^Xi)-\'Bii^dx^^x^—dr3^X2)-{-Ci{da::^^Xi—dXiix^)j

et le système dérivé se compose en général de r — 3 équations. Cependant le caractère du système est égal à deux, car les r équations ot'i=o admettent toujours la solution évidente 6x^ = dx^, 8xj= rfxj, 8X3 = 0^X3. Ce cas est le seul où le système dérivé d'un

système de r équations et de caractère deux contient moins de r — 2 équations (^).

D'une façon g-énérale, si le système S contient r équations et le système dérivé r' équations, le caractèi^e du système est inférieur k r — r' lorsque la classe est ég-ale ou inférieure à ar — r' .