Transformations de contact prolongées. — Soient

(4) ^=Ylx,ij,z,p,q\ Y = F„ P=F3, Q = F3, Z = F,

des formules définissant une transformation de contact, pour lesquelles on a identiquement

(5) dZ — PdX — QdY = <^{dz — pdx — qdij) ,

p étant une fonction de x, y, z, p, q. Les conditions du n" 51

[X,Y] = o, [X,Q] = o, [Y,P]=o, [P,Ql=o, [P,X]=p, [Q,Y]-p

peuvent s'écrire encore

(ac/)oi + (6c)oi — o, (aof)o2 + (6c)o2 = o,

(6) <J (aûf)i3 4-(èc)i3 = o, (a6)23 + (èc)23 = o,

l («C0o3 + (^Oû3 = («A2 + Mij^ p,

ou sous la forme équivalente [Leçons, p. 869)

f («c)o3 + (ac)i2 = o, \ (bd),3+ibd\^^o,

(7) < (cA3 + (co?Ji2 = o,

(') Voir le Mémoire cité de M. E. Cartan, Sur l'intégration de certains systèmes de Pfaff de caractère deux [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXIX, i()oi, pp. 233-3o3). II étudie en particulier certains systèmes qu'il appelle singuliers, formés par des systèmes de r équations qui coml)rennent r — i équations formant un système partiel de caractère un, et des systèmes qui admettent r — 2 combinaisons intégrables distinctes.