CHAPITRE VU. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.VGE
en posant
dX ' dx '
, dX ■ ^^=dy'
' dx'
h dY '^=dy'
'dx'
, dO
dy
dP
dx '
i dP
d dx
d D dij ~ ^y
{ad)ij:
= aidj — ajdi.
{bc)ij = bi
Cj
— bjCi,
Lorsque l'élément (a*, y, s, p, q) décrit une multiplicité M» ayant pour support ponctuel une surface 3, l'élément (X, Y, Z, P, Q) décrit aussi une multiplicité OK^, et nous supposerons que celte multiplicité a pour support ponctuel -une autre surface 2. Soient z =zj\x, y) l'équation de la surface g, et Z = F(X, Y) l'équation de la surface I. Les lettres r, s, t, R, S, T ayant la signification habituelle, proposons-nous de calculer R, S, T au moyen de x, y, r,/?, q, r, s, t. On les déduit des deux relations
dP = RdX + SrfY, dQ = SdX + TdX,
qui deviennent, en développant les différentielles </X, dY, dP, dQ, remplaçant dz, dp, dq par pdx + qdy, rdx + sdy, sdx -\- tdy respectivement, et employant la notation convenue pour les dérivées partielles des fonctions X, Y, P, Q,
a^dx 4- b^dy + d^{rdx + sdy) -f c^{sdx -4- tdx)
^^[a^dx + b^dy -\- d^^rdx + sdy) -\- CfJ{sdx + tdy)]
+ S[a^dx + b^dy + d^irdx + sdy) + Ci{sdx -\- tdy)] , a^dx + bidy + di{rdx + sdy) + Ct{sdx -\- tdy)
=SaQdx + bf^dy 4- djij'dx + sdy) + Cg(sdx + tdy)]
+ T[a^dx -\- bidy-{- d^^rdx + sdy) + cjsdx + tdy)] .
En égalant les coefficients de dx ei de o^y dans la première
équation, on a un système de deux équations linéaires en R et S, d'où l'on tire
(«6)31 + (rf6)3i/-+ (ac)3)^ + [(ad>si + {cbhi]s + ldc)uiri — s^) {ab)oi + ^(/6,o,/-4- (ac)oi^ + [(ad)^i + (c6)o,Js + {dc)oi{rt — s^)'
. («6)u3 + {db)o:^r + {ac)os/ + [(«^ 03 + (^6)03]^ + {dc)o3{rt — s^) («6)01 + (of6)o,/- + (acJQit + [(a</)oi + (c6)oi> + {dc)f,i{rt — s^}'
De la deuxième équation on tire de même
fç.his) s ::^ (a<^)2i + {ah)2ir -f- (00)21/ + [(«t/lzi + (c6)2i> + {dc)n{rt -s^ («6)01 + (c^6)o,r + (ac)«i/ + [{ad),, + (c6)o,]s + {dc}oi{rt - s^y
tf^ter) X — («<^)o^ + (<^6)oor + (0^)02^ + ['ad)^^ + (c6)o2> + (dc),^{rt — s'^) (aé)oi +(c^6)oir + (ac)o,/+[(arf)oi + (c6)oijs + (f/c)oi(r/ - s2)'
Les valeurs de S fournies par les relations (9) et (9 bis) sont identiques en tenant compte des conditions (6) et (7).
Les formules (4), (8), (9), (9'^'') définissent une transformation de contact prolongée, la transformation de contact proprement dite étant définie parles formules (4). En passant aux dérivées du troisième ordre, puis du quatrième ordre, etc., on aurait une suite indéfinie de transformations prolong-ées de la première, pourvu que la suite des dérivées des fonctions X, Y, P, Q, Z soit illimitée.
Bornons-nous à la première transformation de contact prolongée, définie par les formules (4), (8), (9), (9^*''). D'après la façon même dont les expressions de R, S, T ont été déduites des fonctions X, Y, Z, P, Q, cette transformation remplace le système de Pfaff formé des trois équations
r u,=ds — pdx — qd(/ = o,
(10) < 0)2 = t//> — rdx — sdij = Oj ( wj = dq — sdx — tdi/ = o,
par un système de Pfaff de même forme
r ai = dZ — PdX — QdY = o,
(11) ) a2 = dP — RdX—SdY = o, i £is = dQ — SdX — TdY = o.
En d'autres termes, le système de Pfaff (11) est un invariant, relativement à toute transformation de contact prolongée.
