CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MOKGE

Inversement, toute transformation (12) X = F^{x, !/, s,p, q, r, s, i), ..., T = Fg{x,!/,s,p,q,r,s,t) pour laquelle le système de Pfajf (10) est invariant, est une transformation de contact prolongée .

En effet, si la transformation (12) remplace le système de PfafiF(io) par le système (n), on peut dire que les équations (10) et (11) représentent le même système de Pfaff écrit avec des variables difiFérentes. Le système dérivé de (11) doit être remplacé par le système dérivé de (10) quand on effectue sur ce système (i i) le chang'ement de variables défini par les formules (12). Or le système dérivé du système (11) se réduit à la seule équation Q.i ^o ; on a en effet

fi'5 = f/X(?S — f/SoX -h cnr^T— cfTJY,

et on ne peut avoir évidemment

\H\ + \Q\ ^ o (mod. Q„ ûg, Û3),

que si l'on a \=\^o. Pour les mêmes raisons, le système dérivé du système (10) se compose de la première équation de ce système. L'équation a>^ = o doit donc être un invariant relativement à la transformation considérée, et l'on doit avoir identiquement

(i3) dZ — PrfX — qd\ = ^[dz —pdx — qdy),

quand on remplace X, Y, Z, P, Q par leurs expressions tirées des formules (12). Ceci ne peut avoir lieu que si X, Y, Z, P, Q sont indépendants de r, s, t. Il suffit en etlet de se reporter à la méthode même qui permet d'obtenir toutes les transformations de contact. L'équation (i3; prouve qu'il existe au moins une relation entre x, y, r, X, Y, Z, indépendante des autres variables p, q, r, 5, /, P, Q, R, S, T. Supposons par exemple qu'il n'en existe qu'une,

La relation (i3) ne doit pas être distincte de (/F' = o, ce qui permet d'avoir les expressions de X, Y, Z, P. (J eu fonction de o", y, G. Prob. 20

£:, p, q, et les cinq premières des formules (12) définissent une transformation de contact.

La transformation (12) est forcément identique à la transformation prolong-ée, puisque les relations

d? = RdX -f SdY, dQ = SdX + T^Y

doivent être des conséquences des relations

dz z=pdx -f <jd.y, dp^=rdx + sdy, dq=^sdij -\- tdy',

ce qui détermine R, S, ï en fonction de x, y, s, p, q, r, s, t.

Le raisonnement peut être g^énéralisé. Supposons que le système de 6 équations de Pfaff à 12 variables

f dz — pdx — qdy = o, dp — rdx — sdi/ = o, \ dq — sdx — tdy = o,

^ ' ) dr — p^f^dx — Pzidy =^ o, ds — p.^^dx — p^^dy^=o,

V dt — Pizdx — pf^^dy = o

soit invariant par un chang-ement de variables

(i5) X = F^{x,y,z,p,q, r, s,t,Pso^ p^y, p,2, P03),

Le premier système dérivé du système (i4) est formé des trois premières équations de ce s^'stème, comme on le voit facilement. Le second système dérivé est formé de la seule équation dz — pdx — qdy = o. Cette équation devant être invariante par la transformation (i5), il s'ensuit que les cinq premières formules (i5) définissent une transformation de contact, et, en raisonnant comme tout à l'heure, on en conclut que les huit premières formules (i5), définissent la première transformation prolong-ée de cette transformation de contact, puis que les formules (i5)^ prises dans leurensemble, définissent la transformation de contact prolongée jusqu'aux dérivées du troisième ordre. Le raisonnement est évidemment g-énéral

Ce résultat peut s'énoncer g-éométriquement comme il suit : Les seules transformations de l'espace qui changent deux surfaces ayant un contact d'ordre supérieur au premier en deux surfaces ayant un contact du même ordre sont les transforma-