CHAPITRE VU. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROHLÈME DE MONGE
lions de contact prolongées (*). Supposons par exemple qu'uue transformation fasse.correspondre à deux surfaces ayant un contact du second ordre, deux autres surfaces ayant aussi un contact du second ordre. Cette transformation est définie par des formules donnant X, Y, Z, P, Q, R, S, T en fonction de x, y, r, p, q, r. s, /, telles que les relations
dZ — P^X — QdY = o. dP — lidX — SdY = o, dQ—SdX-~TdY = o
soient des conséquences des relations
ds — pdx — qdy=o, dp — rdx — sdt/=^o, dq — sdx — tdy = o.
Cette transformation est donc une transformation de contact prolongée.
75. Systèmes de Pfaff à quatre variables. — Tout système de trois équations de Pfati" à quatre variables est un système d'équations différentielles ordinaires. Prenons un système de deux équations à quatre variables
(ù^ = k^dx^ + A,dx^ + X^dx^ -f k^dx^ = o.
] (ù, = B^dx^ + B.^dx2 + B^dx^ + B^dx^ = o.
Si ce système n'est pas complètement intég^rable, le système dérivé S' se compose d'une seule équation Hj^À^w^ -{- /.^Wg =0, qui peut être de classe trois ou de classe un (n^ 72).
1° Prenons d'abord le cas g-énéral où l'équation 0.^ = 0 est de classe trois. On peut alors choisir un système de variables (yi, y,, y 3, y^) de façon à ramener l'équation i>j = o à la forme canonique dy., — yzdy^ = o. Le système S est remplacé par un svstème formé de l'équation précédente et d'une autre équation où l'on peut supposer que dy^ ne fiicure pas :
o, = dy., — y^dyy = o, Q. = U^dy, -j- H^dy^ + li^dy^ =0.
L'équation
Q\ = dy.oy, — hj.dy, = o
(') Le théorème est vrai aussi lorsque chacune des deux surfaces est assujettie à être une surface intégrale d'une équation aux dérivées partielles dont l'ordre est é?al à celui de contact.
doit être une conséquence des deux relations
H,dy^ + H-idi/.^ + H^di/^ = o, U^ây^ + E^ây.^ + E^Sy^ = o,
ce qui ne peut avoir lieu si H^^ et H3 sont nuls. Supposons H3 :7t o ; nous pouvons même le supposer ég-al à — i, ce qui donne
dy., = E^dy^-^E^dy^, ây.^=EiSyi-{-Ejy„
et la relation ^\= o devient
d'où l'on déduit que H,^ est nul. Quant au coefficient H^, il dépend nécessairement de la variable ?/^ ; autrement les deux équations
(^y2 = ^3^^!' dy., = Eidyi
formeraient un système complètement intégrable. On peut donc prendre ce coefficient H^ pour la variable yj^ et, par conséquent, dans le cas g-énéral considéré, le système S peut être ramené à la forme canonique (*)
(I) dy^—y,,dy^ = o, dy., — y^dy^^o,
yi, y. 2, y.^, y^ étant quatre fonctions indépendantes des varia-
2** Supposons que l'équation Q^ =0 qui forme le système dérivé soit de classe un; on peut alors l'écrire âf^^ = o, yt étant une fonction des variables œ^, x^, x.^, x^. En prenant pour nouvelles variables ?/i, x^, x.^, x^ par exemple, le système S est remplacé par un nouveau système
dy^ = o, E.^dx^ + E.^dx.^ + Ej^dx^= o.
La dernière équation de ce système, où l'on regarde y^ comme un paramètre, n'étant pas complètement intégrable, peut être mise sous la forme
c^^3 — l/idy^ + Kdy^ = 0
[)ar un changement de variables portant sur les variables js'j, x".{, a:.,
(•) Ekgel.Zup Invainantentheorie der Système Pfaff'scher Gleichungen {Leipzig Berichte, t. XLI, p. lôj-iyS). Voir aussi E. Cartan, Sur quelques quadratures dont l'élément différentiel contient des fonctions arbitraires (Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXIX, i(joi,p. ii8-i3o).
