CHAPITRE I. — FORMES CANONIQCES

ne sont pas nuls à la fois, et la forme (II) si tous ces déterminants

sont nuls.

6. Le système Sî- Classe d'une forme de Pfaff. — Les éléments linéaires singuliers, qui sont eu même temps des éléments intés^raux, véritient les équations du système S^,

aildx^ -f , . 4- Uindxn = o, (/= 1, 2, ..., n),

j</j?l +...-}- XndjCn = O,

que l'on obtient en adjoi^-nant au système S^ l'équation ù) = o. Il est clair que ce système S, est lui-même un covariant de la forme a> relativement à tout changement de variables.

Si l'équation w =o est une conséquence des équations de S^, le système S^ est identique à S^. Si l'équation w = o est distincte des équations de Sj, le système S, comprend 2/> + i équations distinctes. Supposons w ramenée à la forme (I) ; après ce changement de variables. Sj est remplacé par le système

tandis que le système Sj devient

dy, = o, dy, = o, ..., dy^p=o, dy^^^,=o.

Le système S^ est donc lui-même complètement intégrable. On voit de plus, d'après les calculs du paragraphe précédent, que, s'il n'est pas identique au système S^, on obtiendra la dernière intégrale de ce système par une quadrature quand on aura intégré le système Si-

Soit c le nombre des intégrales distinctes du système S^, c'est-àdire le nombre des équations linéairement distinctes de ce système ; ce nombre c s'appelle la classe (^) de la forme de Pfaff w. Ce nombre c est égal au nombre minimum de variables au moven desquelles puisse s'exprimer w par un changement de variables convenable [^) .Nous avons démontré au paragraphe précédent que si Si contient 2/), ou 2/> -f i équations distinctes, la forme w peut être ramenée à la forme (1) ou à la forme (11). Dans les deux cas, l'expression ainsi obtenue pour w ne dépend que de c variables. On

Cj Cette expression a été introdnite par Frobenius.

(*) On dit qu'une Tariable fiçure dans une forme de Pfaflf si elle fig-ure sous le signe d ou dans l'un des coefficients.

ne peut pas obtenir pour w une autre expression où fîg"urent moins de c variables ; supposons en effet que, par un chang-ement de variables convenable, w prenne la forme

w(i) = Z^^dz^^ 4- . . . + Zqdzq, le nombre q étant inférieur à c, et les coefficients Z/ ne dépendant que des q variables 5^, ^2, ..-iZq. Il est clair que le système 82'^' correspondant à cj<i' ne peut renfermer plus de q relations linéairement distinctes, puisqu'il ne renferme que q différentielles dz^, ..., dzq. Il ne peut donc être équivalent au système Sj qui, par hypothèse, renfermée > q équations distinctes.

Le môme raisonnement prouve que si, par un moyen quelconque, on a obtenu pour w une expression où ne fig"urent que c variables, ces c variables sont des intég-rales du système S.,. On peut donc, d'une infinité de façons, trouver des expressions dewoù ne figurent ■que c variables, mais on déduit toutes ces expressions de l'une d'elles par un chang^ement d'un système de c variables en un nouveau système de c variables. Par la suite, nous dirons que toute intégrale du système Sg est une variable canonique.

Pour obtenir la classe d'une forme de Pfaff, il suffit, d'après cela, de chercher le nombre des équations distinctes de Sj, c'est-àdire l'ordre des déterminants du tableau T^, de l'ordre le plus élevé, qui ne sont pas nuls.

Soit oj une forme d'ordre pair n = 2p. Si les coefficients X; sont des fonctions quelconques des variables indépendantes, le déterminant A ne sera pas nul, et par suite la classe sera égale à 2p. On voit de la même façon que, pour une forme à un nombre impair de variables et à coefficients quelconques, la classe est ég-ale au nombre des variables. Nous appellerons, dans la suite, ybr/ne ordinaire toute forme dont la classe est ég-ale au nombre des variables qui y figurent, /orme exceptionnelle ionlQ forme dont la classe est inférieure au nombre des variables qui y figurent. Connaissant la parité de la classe d'une forme, il est facile d'avoir une limite du nombre/) au moyen du nombre n des variables. Si la classe est

paire, on a ip ^n et, par suite, /J ^ — . Si la classe esf impaire, on a 2/) -1- i ^ n, ou p <^ — ^^^— .