CHAPITRE VII. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
(n** 9). Lp système S peut donc être ramené à la /orme canonique
(II) dy^=o, dy, — y^dy, = o.
Enfin, si le système S est complètement intéarrable, il admet la forme canonique
(III; dyi = o, dy^ = o.
En définitive, tout système de Pfaff de deux équations à
quatre variables peut être ramené à l'une des /ormes canoniques (I), (II), (III).
La forme canonique (I) convient au cas g-énéral où le système S n'admet aucune combinaison inté^-rable, la forme (II) au cas où il existe une combinaison intégrable, et la forme (III) au cas où le système est complètement intégrable. La démonstration précédente fait connaître en même temps quelles sont les opérations nécessaires pour effectuer la réduction. Ainsi, dans le premier cas, on a à effectuer l'opération 3, pour ramener une équation de Pfaff de classe 3 à une forme canonique.
Le système S étant ramené à une forme canonique, il est facile d'obtenir toutes les multiplicités intégrales. Laissant de côté le cas de la forme (III), où la solution est évidente, nous voyons d'abord que les systèmes (I) et (II) n'ont que des intég^rales à une dimension, dont il est aisé d'avoir les équations g-énérales. Dans le cas de la forme (I), l'intég-rale g'énérale est représentée par les formules
(i6) y,= r. y,=f{<xh y,=f(^), y.=ri^),
y(a) étant une fonction arbitraire, et il existe en outre des intégrales singulières dépendant de trois constantes arbitraires,
L'intégrale générale du système (II) est de même représentée par les formules
(18) yi=c„ y. = ^, ys=A^)^ yA=f'(^)^
et il y a en outre des intégrales singulières, dépendant de trois
310 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE l'FAFF.
constantes arbitraires, représentées par les mêmes formules (17) que Ton vient d'écrire. On voit que, dans tous les cas, les multiplicités intégrales à une dimension d'un système de deux équations de Pfaff à quatre variables, non com.plètement intégrable, peuvent être représentées explicitement par des formules où fig-urent une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'au second ordre au plus, ou des constantes arbitraires en nombre fini, ou à la fois une fonction et une constante arbitraires.
Exemples : i" Le problème de Monge {Leçons^ n'* 42) est
un cas particulier du problème précédent. Soit à trouver tous
les systèmes de trois fonctions x, //, z d'une variable véïifiant la
relation ¥[x,y,z; dx,di/, dz) = o, dont le premier membre est
liomogène en dx, dy, dz. Supposons cette équation résolue par
, , dz rapport a -7—, ^ ^ dx
dx-~'^\^''l'^' dx)'
si le second membre est linéaire en ' ,- , on est ramené à trouver
dx
toutes les intégrales d'une équation de Pfaff à trois variables
dz=^Adx -j- Bdy. Dans le cas général, en posant -~= u, on est
ramené à trouver toutes les intégrales d'un système de deux équations de Pfaff à quatre variables x, y, z, u,
(Oj = dy — udx = 0, iÙ2=dz — f{x, y, z, u) dx = o.
Nous avons ici
0)', = duSx — Sudx, m\ = -^ J duSx — Sudx i,
et, par suite, l'équation dérivée du système est = dz — fdx (dy — udx) =^dz '^dy — (/ — u — Wj:= o.
et le problème revient à ramener cette équation de Pfaff" à une forme canonique, réduction qui exige, on l'a vu (n" 12), les mêmes opérations que l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre. La solution générale est fournie par les courbes
