CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MOXGE
intégrales d'une équation aux dérivées partielles; la solution singulière, qui dépend de trois constantes arbitraires, correspond aux caractéristiques.
2° Considérons l'équation à deux fonctions inconnues y et 5
dx
, en posant -7^ = a, l'équation devient
et l'on est encore conduit à un svstènie de deux équations de Pfaff à quatre variables,
dy — udx= o, dz — X(x, y,z,u)du — B(j:, y, s,u)dx=o.
De même, étant données deux fonctions f{x,y), '2{x,y), pour obtenir des fonctions x, y d'une variable, telles que les deux
intégrales j /{x,y)dx, j o(x, y)dx, ou les deux intégrales
j /(x, y)dx, j o (x, y) dy, puissent s'exprimer explicitement,
il faut trouver sous forme explicite toutes les solutions de l'un des sj'stèmes de PfafiF à quatre variables, x, y, h, v,
{S^) du — f{x, y)dx=o. dv — o (x, y) dx = o,
(Sg) du — f{x, y)dx=o, dv — o{x, y)dy = o.
Remarque. — Les raisonnements de ce paragraphe peuvent être généralisés. Soit mj m o, 0)2 = 0 un système de deux équations de Pfaff à un nombre quelconque de variables, telles que le système dérivé se compose de la seule équation wi =: 0. Si cette équation est complètement intégrable, la seconde équa-tion du système wo^o peut être de classe quelconque plus grande que un. Si l'équation «i =: o n'est pas complètement intégrable, on peut la supposer mise sous forme canonique
w, = dy, — y, dy^ — P. j = o,
ili étant une forme de Pfaff de classe paire (si elle n'est pas nulle), où ne figurent pas les variables yi, y*, ys, ni leurs différentielles. Par hypothèse, on a "*
w'i =: rfyj^ya — dyi^yi — II', ^ o (mod. w, , w»).
ce qui exig-e que di/;i fig'ure dans co2. On peut donc écrire celte équation
W2 := f///3 — Airfyi — il2j
II2 étant une autre forme de PfafF, où ne fiq-urent pas les difFérentielles di/i,di/2, dyz- On doit donc avoir
Sy, {k,dy, + Q..Xd)) — dy^ {Ai^yt + a.{S)) + il\ = Si/ia^{d) ~ dyiD..{â) + Il'i = o,
quelles que soient les différentielles di/i, Si/^ ; il faut donc que l'on ait
il, = o, n.'i = o,
et par suite que la forme iii soit nulle, puisqu'elle est de classe paire. Le coefficient Aj ne dépend pas seulement de //i, 1/2, //;), car le système serait alors de classe deux, et coïnciderait avec son dérivé. On peut donc prendre Ai pour une nouvelle variable y,^, et le système est ramené à la forme (Ij.
76. Systèmes de Pfaff à cinq variables. — Nous étudierons encore les systèmes de deux et de trois équations de PfafF à cinq variables. Etant donné un système S2 de deux équations de Pfaff à cinq variables Xi, x^, ..., x^, on a vu déjà (n** 67) que l'on a des relations
w'i = Al [dœ^^Xti — dœs^x^) + A2 {dx-iSx^ — dxiBx^) + A3 (dxi^x^ -- dx.%§x{), (ù'i ^ Bi (dx^^x^ — dx-iSxi) + B; {dx^^Sxi — dx^Sx^) -\- B3 {dXiSx^ — dx^Sx^),
(mod. wi, wy)
pourvu que les deux équations 0)^=0, oj, = o puissent être résolues par rapport à c?j?4, t/j?5. Les relations a)'j = w'2=o expriment que la droite qui joint les deux points m et p., de coordonnées {dx^, dx^, dx.^) et (Sx^, èx^, âx^) doit passer par les deux points P^ et Pj de coordonnées (Aj, A2, A3) et(B^,' Bg, B3), pour que les éléments linéaires intég-raux {dx^, dx^, dx^) et (toj, ix^, Sx.^) soient en involution. Si les deux points Pi et P^ sont distincts, ce qui est le cas g-énéral, il n'y a pas d'élément caractéristique, et tout point m qui n'est pas situé sur la droite PjPj représente un élément linéaire intég-ral qui n'est en involution avec aucun autre élément linéaire intégral. Mais il y a une infinité d'éléments singuliers représentés par tous les points de la droite PiPg ; deux points quel-
