CHAPITRE VII. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PRORLÈME DE MONGE

conques de cette droite représentent toujours deux éléments en involution.

Soit w. =o l'équation de la droite P^P^ ; deux éléments linéaires intégraux représentés par deux points quelconques de cette droite étant toujours en involution, on a nécessairement

W j = WgW^, 0> 2 = WjWj,

(mod. ti),, Wj),

et les cinq formes de PfaflF w,, w,, Wj, o}^, w- sont linéairement distinctes. Dans le cas contraire, en effet, tout élément linéaire vérifiant les cinq relations

Wj = W:> =^ a>3 = fo^ = (Oj = o

serait un élément caractéristique, et le système ne serait pas de classe cinq.

Il peut encore se présenter deux cas. Si les trois équations o)^ = o, w^ :^ o, w, ^ o ne forment pas un système complètement intégrable, le système S^ formé par les deux équations (0^ = 0, 10^ =o est le système dérivé du système S3 formé pai* les trois équations w^ ::=o, (0^= o, 0)3= o.

Il n'en est plus de même lorsque les trois équations w^ = o, Wj = o, 0)3 = o forment un système complètement intésrrable. Le système S, peut alors être ramené à une forme canonique simple, comme nous le verrons un peu plus loin.

Si les deux points Pj, Pg sont confondus, le systèm^e S, admet des caractéristiques à une dimension ; il est donc de classe quatre et peut être ramené à une des formes canoniques (I), (II). La forme canonique (II) convient au cas ou le système S^ admet une combinaison intég'rable et une seule. Enfin, si Ton a identiquement

w'i ^ o, tu', ^ o, (mod. Wj, wj),

le système S^ est de classe deux, et peut être ramené à la forme canonique (III).

Lorsque le système S, est de classe cinq, on ne peut pas, en général, le ramener à une forme canonique, mais on peut, d'une infinité de manières, le ramener à une forme réduite où ne figure qu'une fonction arbitraire. En effet, parmi les équations

ÂWj -|- aw;, = o.

LECOJNS SUR LE PROBLEME DE PFAFF,

il y en a toujours une infinité de classe trois, car la condition pour qu'une équation de Pfaff à cinq variables

Q =a^dxi + a^dx^ + . . . + a^dx.^ = o

soit de classe trois est que le déterminant

soit nul (n*' 7). En prenant pour Q. la forme );Wi -f- ijlwo, on est conduit à une condition où figurent les deux fonctions "k, p., et leurs dérivées partielles du premier ordre. Si par exemple, 'k fig-ure dans cette condition, on pourra prendre \l arbitrairement, et l'on a pour déterminer \ une équation aux dérivées partielles du premier- ordre.

On peut donc toujours supposer que l'équation w, == o est de classe trois, et ramenée à une forme canonique. Le système proposé peut donc être écrit comme il suit, par un choix convenable des variables,

ui^ = dy^—y^dyi=:o, (0, = Y,dy, + Y,,dy^ + ^,dy^ + ^^dy-^ = o ;

les deux coefficients Y^, Yg ne peuvent être nuls à la fois, car le système serait de quatrième classe. Soit K un facteur tel que l'on ait

K[Y,dy,^Y,dy,