CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE
de ^5 et prendre IJ3 pour cette variable. Le svstème S est donc ramené à la forme réduite
(IV) 0^1 = dij. — ij.dij^ =0, w., = dij^ —fdij, —y-Jys = o,
où fisTure une seule fonction indéterminée /{i/i, (/,, ^3, y^, y^) des cinq variables.
Inversement, quelle que soit la fonction y, le système (IV) est de classe cinq. On a en effet
'o\ = dy^By.:^—dy.,^y,,
(mod. w^, &),).
Tout élément caractéristique devrait donc satisfaire aux relations dy^ = o, dy..^=o, dy^^=o, et par suite aux relations rf^2 = f^^4 = o- On peut vérifier sur ces équations qu'il y a 00 * éléments intégraux singuliers; en effet, pour que ces deux équations se réduisent à une seule, il faut et il suffit que l'on ait la nouvelle relation
''h=dyi -\-^dyi = o.
Les éléments sinsruliers du système S, sont donc définis par le système S3 des trois équations Wj = o, w^ = o, Wj = o, ou par le système équivalent
^i = dy, — y,dy, = o,
Û, = dy, + {y-^ ^ -/) dy, = o, Q, = dy.,-^^ dy, = o.
On a
^'■2 = y-, ^ (dy-J^y, — dyj^y^ , Q'. ^ -^ {dy-J>y, — dy.By.),
(mod. Q,. Q,, Û3),
de sorte que le système S., est complètement intégrable lorsque^ est une fonction linéaire de ^5, et dans ce cas seulement. Le sys-
316 LEÇONS SUR LE l'ROBLÈME DE PFAFF.
tème Sg peut alors être ramené à une forme canonique. Soient, en effet,
l'intégrale générale du système S., ; les formules précédentes représentent une famille de multiplicités intégrales à deux dimensions du système 83, telle qu'il en passe une par chaque point de l'espace. Si l'on a choisi un système de variables indépendantes telles que y^=J\, y^=zf^, y^^=f.^, il est clair que les différentielles dy^^, dy,y, dy^ devront seules figurer dans les équations du système, qui peut par conséquent être ramené à la forme canonique
(V) dy,= y^dy^, dy., = y^dy,.
Les intégrales à deux dimensions Mg représentées par les équations
doivent être considérées comme des intég-rales sing-ulières du système, puisque tous les éléments intég-raux dy^^z=o, dyo = o, dy^=o sont des éléments singuliers.
En résumé, un système de deux équations de Pfaff de classe cinq peut être ramené à la forme réduite (IV) lorsque les trois équations qui définissent les éléments singuliers ne forment pas un système complètement intégrable, et à la forme canonique (V), lorsque ces trois équations forment un système complètement intégrable .
Dans le cas général, la réduction à la forme réduite (IV) est possible d'une infinité de façons, et la fonction / n'est jamais une fonction linéaire de y^.
Remarque I. — Lorsque le système Sg n'est pas complètement intégrable, il n'admet aucune combinaison intégrable. En effet, pour que rfF =: o soit une combinaison des équations de S3, la fonction F doit satisfaire aux relations
dF :>F
et par suite à la relation
5^5' 5i/3 •'" ^y^ ^yi
CH
