Î/" DF 3F

Si — ^ n'est pas nul, on a donc + u^ - — ^ o, et par

suite. =: — — =: o, puisque F ne dépend pas de w,. La seconde con-

dition devient alors

et donne de même =: =: o, la fonction P se réduit donc à une

constante.

Remarque II. — Lorsque f n'est pas une fonction linéaire de y^ on a

il', = o, (O, — y.0.5)' = o (mod . n„ fio, lia).

Or, le système ilj =r o, ilo — ys^ij = o est identique au système S2, de sorte que le système Si est le système dérivé de S3.

Remarque m . — Le système (IV) admet une infinité d'intégrales Mj, dépendant de deux fonctions arbitraires d'une variable, dont on peut avoir les équations générales sous forme explicite. Si l'on pose, en effet, yi =:a, yj =r » (k), y^^: 'M")' ^^ *'^^ ^^ '^ première y^ ^ »' («), et la deuxième devient

En la résolvant par rapport à y^, on aura une fonction déterminée de «. î>(a), »'(«), »"(«), ^(«), ?''(«)- Le système admet, en outre, une famille d'intégrales Mj dépendant de quatre constantes arbitraires

iji = Ci. 5r2=::C2, y3 = Ci, y^ — C^,

et une famille dépendant de deux constantes et d'une fonction arbitraire

yi — Ci, yi — C-,, yz = «, y^ — y(a), y- = »'(«).

Considérons maintenant un système S3 de trois équations de Pfaff à cinq variables, non complètement. intégrable. Ce système est de classe 5, et le système dérivé S'j se compose, comme on l'a remarqué (n° 72), de deux équations distinctes. Mais le nouveau système S', peut être de classe 5, 4 ou 2. Nous nous occuperons d'abord des deux derniers cas. Si S'., est de classe 2, il est complètement intégrable, et peut être, par un changement de variables,

ramené à la forme w^ z== c?/y^ := o, 0)2 = f/y2 = o- L'équation w3=z=o, qu'il faut joindre aux précédentes pour avoir S3, est de classe 3 quand on y fait y^ =G, i/^ = C', et par suite le système S3 peut être mis sous forme canonique

(VI) c///i = o, di/2 = o, di/^ — i/-d//.,=o.

Lorsque S'j est de classe 4» il peut être, par un chang'ement de variables, mis sous Tune des formes canoniques (1) ou (II). Supposons d'abord que S'g ait la forme canonique

et soit CO3 =0 la troisième équation du système S.j, renfermant dy^, di/^ et di/^. Pour que S'2 soit le dérivé de S3, on doit avoir

w'j = di/^^i/.y — df/2^ij/, ^s o, (mod. 103) ;

l'équation 0)3 = 0 doit donc renfermer di/^, et on peut l'écrire

di/^ — Adi/., + Bdi/.^.

La condition précédente devient donc

^{dy.J>y2 — dij.,?>y,) = o,,

et Ton en conclut que B = o. Le coefficient A ne peut être indépendant de ?/-, car le système S3 ne renfermerait alors que quatre variables. On peut donc prendre ce coefficient A pour la variable y^ elle-même, et le système S3 est mis sous la forme canonique

(VII) f///i = o, dy^ = y^dy,^, dy^^-^y-^dy^.

On voit de la même façon que, si le système dérivé S'2 peut être mis sous la forme canonique (I), le système S3 peut être mis sous la forme canonique

(VIII) dy^ = y.^dy,, dy,, = y,dy,, dy, = y.^dy,.

On voit en même temps quelles sont les opérations nécessaires pour ramener S3 à l'une de ces formes canoniques. Par exemple, dans le cas de la forme (VIII), on a à mettre sous forme canonique une équation de Pfafï" de classe 3.

Passons, enfin, au cas où S'g est de classe 0; le système S3 est dit alors un système nor/zm/. Ainsi qu'on l'a démontré un peu plus