CHAPITRE VU. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO.NGE
haut, on peut choisir un système de variables y^^, y.^, y.., y^. y- de façon que le système S'., ait la forme réduite (IV), ou la forme canonique (V). Supposons d'abord que S'2 ait la forme réduite (IV), et soit 0)3 = 0 l'équation qu'il faut adjoindre à S'j pour avoir le système S.,. On peut supposer que cette équation ne renferme que les diÉFérentielles dy^, ciy.^, dy^. Pour que l'on ait
<jô\= dy^Sy^^ — f^l/i^l/i — o (mod. w^),
il faut évidemment que 0)3 renferme dy.., et Ton peut prendre
W3 = dy^ — -^(^l/i — ^^^U:,- Il vient alors
w'i = B{dy^^y-— dy-^y,),
et on doit avoir B = o. En écrivant que l'on a aussi w'g ^ o
(mod. ojj, w.,, M.^), on trouve qu'il faut prendre À^ — , et le
système S3 est de la forme (uoir Remarque II, page 3 1 y)
(IX) oy^=dyi — y^dyi=o, b). = dy^—fdy, — y.^dy.^ = o,
OÙ — ^ n'est pas nul. On peut écrire ce système sous une forme plus simple en apparence;-^ renfermant y-^, on peut prendre — pour la variable y-^ elle-même, et en remplaçant dy.^ par son
expression dans ^^=.0, on peut prendre, pour forme réduite du système S3, la forme suivante,
(IX') Q, = dy., — y^dy, = o, Î2, = dy,, — y^dy, = o,
où l'on a permuté les variables y^ et ^5.
Le système dérivé de ce système se compose de deux équations
^i = dy.2—y,dyi = o, Çl^^-^iK = dy,-^dy, + Uf--F)dy^ = o. ^
Si F était une fonction linéaire de y j, ce système dérivé serait
de classe quatre, et par suite le système S.^ poun^ait être ramené à une des formes canoniques précédentes. On doit donc supposer que la fonction F n'est pas une fonction linéaire de y^ pour que le système (IX') soit un système normal.
Lorsque le système dérivé S\ est de classe cinq, il ne peut être ramené à la forme canonique (V). En efïet, le système
ne peut être le système dérivé d'un autre système de trois équations, et de même classe. L'équation 0)3= o qu'il faudrait adjoindre aux précédentes pour avoir ce nouveau système serait de la forme
et l'on voit immédiatement que l'on devrait avoir ¥^ = 0, Yg = o, de sorte que le système cherché serait de classe trois.
En résumé, tout système normal S-^ de trois équations de Pfajf à cinq variables peut être ramené à la forme réduite (IX'), où F n'est pas une fonction linéaire de y^. Le système dérivé de S3 peut être ramené à la forme réduite (IV), et inversement tout système de deux équations de Pfajj^ (lY), où f n est pas une fonction linéaire de y^,, est le système dérivé d'un système normal de trois équations à cinq variables.
On voit de plus que tout système normal S., à cinq variables peut être ramené, d'une infinité de manières, à la forme (IX'), ou à la forme équivalente (IX), Il suffit pour cela de ramener d'abord le système dérivé, formé de deux équations de classe cinq,, à la forme réduite (IV^), ce qui est possible, on l'a vu, d'une infinité de manières.
Il est évident que l'on peut obtenir sous forme explicite toutes les intégrales M^ d'un système canonique de l'une des foimesl'VI), (VII), (VIII), mais cela n'est pas possible pour un système normal, comme on le démontrera plus loin (n» 78). Si l'on pose, dans les équations (IX'), yi = a, ?/2=cp(a), on en tire y.^ = ^'{ci.), //^^^"(a), et y~ est déterminé par l'intégration d'une équation difîérentielle du premier ordre.
