CHAPITRE Vil. SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Les systèmes Sj et S3 de classe cinq ont été étudiés dans un important Mémoire déjà cité de M. Gartan (Annales Se. de r Ecole Normale Supérieure, 3^ série, t. XXVII, igio, p. logig2). En supposant F = f/^* dans les formules (IX'), on a un système de Pfa£F

dy.2 = yidyi, dy.^ = y^dyi, dyr,=y^dy^,

qui admet un groupe de transformations à \t\ paramètres.

ËtaDt donné un système So de deux équations de Pfatt" de classe quatre à n variables («>»4), la détermination des caractéristiques exigerait, d'après la méthode générale, les opérations 4) 3, 2, i L'étude qui vient d'être faite permet de réduire beaucoup le nombre de ces opérations. On peut d'abord, sans aucune intégration, déterminer l'équation de ce système qui constitue le système dérivé. Si cette équation est de classe trois, il suffira, pour déterminer les caractéristiques, de mettre cette équation sous une forme canonique, ce qui exige les opérations 3 et i . Si l'équation qui forme le système dérivé est de classe un, on a d'abord à intégrer une équation aux différentielles totales complètement inlégrable, puis à mettre sous forme canonique une équation de classe trois : on a donc en tout à effectuer les opérations I, 3, I .

Soit de même Sj un système de classe cinq à n variables (« >5). Si les équations qui déterminent les éléments singuliers forment un système complètement intégrable, il suffira d'intégrer ce système (ce qui exige les opérations 3, 2, i), pour ramener le système à la forme canonique (V), et par suite pour avoir les caractéristiques. Si le système Sj n'est pas réductible à la forme (V), une opération 5 donne une intégrale particulière yi du système caractéristique. En faisant yi =C, di/i = o dans les équations du système de Pfaff donné, on est conduit à un système de 4® classe, auquel on appliquera la méthode qui vient d'être indiquée.

Pour intégrer les équations différentielles caractéristiques dun système S3 de trois équations de Pfaff de classe cinq à n variables (/i>»5), on traitera le même problème pour le système dérivé S'*. Si S'2 est de classe quatre, on a vu que S? pouvait être ramené à une forme canonique, dès que S'2 est lui-même ramené à une forme canonique. Si S'2 est de classe cinq, les caractéristiques sont les mêmes pour les deux systèmes.

77. Système de /- équations à /■ 4- 2 variables. — Considérons enfin un système non complètement intégrable de r équa- G. ProL 21

lions k r-\-2 variables ; ce système est effectivement de classe r-\- 2. Les équations de ce système étant supposées résolues par rapport aux r différentielles dx^, . . . ,dxr, si on remplace dans les covariants bilinéaires w'^, w'^, . . . , wV, les différentielles, dxi, ...,dxr, Sx'i , . . . , SiCr par leurs expressions tirées des équations ellesmêmes, on a

w'i = Ki {dXr+l^Xr-\-2 — dXr+^^^Xr+\), (mod. w^, . . . , w,.),

tous les coefficients Ki n'étant pas nuls, car le système serait complètement intégrable. Supposons, par exemple, Kj 92^ o ; on tire des relations précédentes

( w/— ^wj = o (mod. 0)^, CO2, . . ., Mr),

et le système dérivé S' se compose des /' — i équations

w/— — Wj, = o (i = 2, 3, . . .,r).

Nous supposerons dans la suite que l'on a écrit le système S sous une forme telle que le système dérivé S' se compose des r — I premières équations de S, et que ces r— i équations sont résolues par rapport à dxi, dx^, . . . , dxr—i,

(S') co,- = dXi — (AidXr 4- BidXr+i + CidXr+'i) = o,

et que la dernière équation w^ = o du système S est elle-même résolue par rapport à dxr,

Mr = dXr — {YidXr-J^i + Kc^Xr+s) = O-

Si dans m\, . . . , wV— 1 on remplace dx^, . . . , dxr—i, ^x,, . . . , âxr-i par leurs expressions tirées des équations de S', il restera seulement, dans ces covariants bilinéaires, les trois binômes

dXrSXr-\-\ — dXr+i^Xr, dXrSXr^l — dXr+I^Xr, dXr-\-iSXr~\-'i — dXr^2SXr-\-i,

OU les trois expressions bilinéaires (voir p. 18)

[(.),., dXr+\], [w,., dXr+'i], [dXr-\-\, dXr+2],