CHAPITUE VII. — SYSTÈMES DÉRIVÉS. PROBLÈME DE MO>GE

et puisque 'u'/ doit être nul en tenaut compte de la dernière équation &>r= o du système S, il reste des identités de la forme

(19) Oi'i = L,- [(Or, clXr^i] -I- Mi[wr, djCr+i], {.mOil. Wj, ..., w^- l)

(/= I, 2, ...,r — i), ce qu'on peut aussi écrire

(19') b)'i= [b>r, LidjCr-\-l -\- Mif/jCr-fo], (mod. W,, fa)^, . . . , OJr—i).

Si le rapport des coefficients L,-, M/ n'est pas le même quel que soit i, les r — i équations w'i = o se réduisent à deux équations distinctes, et par suite le système S' dérivé de S' se compose de r — 3 équations seulement. C'est évidemment le cas général, qui se présente lorsque les coefficients du système S sont quelconques ; nous dirons avec M. Gartan que le système S est alors un système normal.

Lorsque le rapport des coefficients L/, Mj est indépendant de / , sans que tous ces coefficients soient nuls, les équations w'/=o se réduisent à une seule, et le système S' dérivé de S' se compose de r — 2 équations distinctes. Dans ce cas, le système dérivé S' est de classe r -|- i. En effet, puisque toutes les formes

ne diffèrent que par un facteur, on a

Il s'ensuit que tous les éléments linéaires intégraux du système S' qui satisfont aux deux relations

w,= o, xdXr-{-i + '^dXr—i = O

sont en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux du même système S'. Les équations qui définissent les éléments caractéristiques de S' sont au nombre de r-^ i, el par suite S' est bien de classe r -\- i.

On peut donc supposer que l'on a choisi les variables Xi de façon que les variables x^, . . ., a?r-fi figurent seules dans les équations du système S', et par suite que tous les coefficients C/ sont nuls. Dans les covariants &>'/, quand ou aura remplacé les differen-

tielles c/a-'i, . . . , c/j?r— 1, ûx'j, . . . , ^Xr—i par leurs expressions tirées des équations de S' elles-mêmes, il ne figurera que le binôme dxr^Xr+i — dxr-^\^Xr qui devient, en tenant compte de l'équation Mr = O,

K(âXr+ldXr+<2 — ^Xr-\-2dXr+\).

Pour que les équations ojj =0, ...,wr— i = o forment le système dérivé de S, il Faut donc que le coefficient K soit nul, et la dernière équation de S est de la forme

0)f. = dXr — UdXr 4- 1 ^= o.

Le coefficient H dépend nécessairement de la variable Xr-{-i, car auti^ement le système S serait de classe inférieure à r + 2, et par suite complètement intég-rable. On peut donc prendre ce coefficient H pour la dernière variable .9?^+ 2, ce qui permet d'énoncer la proposition suivante : Lorsque le second dérivé S" de S se cornpose de r — 2 équations, on peut choisir les variables x^,x.^, ..., Xr-{-i de façon que les équations du système aient la forme suivante

,• = dxi — {AidXf + Bidxr+i) = o (/ = i, 2, ...,r — i),

r = dXr — Xr + 2dXr-^~i = O,

les coefficients A/, B/ étant indépendants de Xr+'î-

Les r — I premières équations forment le système dérivé S'. On remarquera qu'il y a une correspondance univoque entre les intég-rales de ces deux systèmes (^). A toute intég-rale de S correspond évidemment une intégrale de S' ; inversement connaissant une intég-rale M', de S',

^i =/i(a)^ ' • • . Xr+i =/; + i(a),

on obtiendra une intég-rale Mi de S en joignant aux équations précédentes l'équation

Xr+2 = ; /- .

Nous dirons, avec M. Cartan, que le système de Pfafl'S est un prolongement du système S',

(') Nous laisserons de côté dans la suite les intégrales à deux dimensions de S (s'il en existe), et nous ne nous occuperons que des intégrales- Mp