CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉMVÉS. PROBLÈME DE MONGE

Lorsque tous les coefficients L,-. M,- des formules (19) sont nuls, le système S' est Complètement intégrable, et ou peut choisir les variables indépendantes .r,- de façon que les équations de S' soient

Wl = dxi =0, . . . , »y^ 1 ^ dxr—\ = o.

Si on ne laisse dans la dernière équation wr = o que les différentielles dxr^ drr-^i. dœr-i-2, on a, en considérant œ^, x^, . . ., Xr-i comme des paramètres dans les coefficients, une forme de Pfaflf à trois variables que l'on peut ramener à la forme canonique

Wr = dXr — Xr-\J2<dXr+l = O.

Nous avons examiné tous les cas qui peuvent se présenter relativement au système dérivé S'. Considérons maintenant un système S qui ne soit pas normal, et la suite des systèmes dérivés S', S', ... Il arrivera arénéralement qu'au bout d'un certain nombre d'opérations le nombre des équations diminuera de plus d'une unité quand on passera de l'un de ces systèmes au suivant. Supposons que cela ait Heu pour la première fois pour le système S('"— *\ de telle sorte que S' se compose de r — i équations, S' de r — 2 équations, S""-'" de h équations, mais que S(''— ''+'' se compose de h — 2 équations au plus, ce qui exige que l'on ait A >> I . Alors, d'après ce qui vient d'être démontré tout à l'heure, S' sera de classe r-^-i, et par suite S* sera de classe r\ et ainsi de suite; la classe ira en s'abaissant d'une unité quand on passe d'un système au suivant jusqu'au système S'*""*"*' qui sera de classe A -|- 3 et se composera de A -|- i équations. Le premier dérivé de S*''— ''—*>, c'est-à-dire S*'"— ''^ se composera de fi équations, mais le second dérivé S^'"— *+*' ne comprendra que h — 2 équations. Le système St*"— *~'* est donc un système normal de h + 1 équations et de classe A 4- 3, dont le système S""— ''~-' est un prolongement. D'après ce que nous avons vu tout à l'heure, on peut prendre un svstème de variables tel que les équations de S^*"— ''-') ne contiennent que les A -|- 3 variables x^ J/i-fs et leurs différentielles, la dernière équation du système Si''—^—^) étant

dxh+i = Xh^dxh+3^ Le système S*''—*—') s'obtient en joiernant aux équations de

S(r-/(--2) m^g équation de plus où fig-ure une variable de plus x/i-^^, et on peut supposer que cette équation est de la forme

\dxf,-^z + l^dxhJr'i + Cdxh-\^?, = o.

Un raisonnement tout pajcil aux précédents prouve que l'on doit avoir C = o, et l'on peut prendre le rapport - pour la variable Xfi+b, ce qui permet d'écrire la nouvelle équation

dxh+3 = Xh+^dxh^k-

Eh continuant ainsi, on voit que l'on peut choisir les variables indépendantes Xi, . . .,.rr-|-2, de telle sorte que les équations du svstème S prennent la forme

/ OJj = o, . . ., 6J/,j l = 0,

y dxh-{-^ = XhJ[-^dxh+-i,

dXr = Xr-\-2dXr+i ,

les ^ 4- I équations 0)^=0, ..., 6}/j+i=o étant celles d'un système normal S^''— ^-^) où fig-urent seulement les A + 3 variables x^, x.j, . . .,Xh+3. On voit encolle que les intégrales à une dimension du système S et du système S''"—'''"^) se correspondent une à une d'une façon univoque ; de toute intégrale du système S('"— ''~i) on peut déduire par des diflerentiations une intégrale du système S, Nous dirons encore que le système S est un prolongement de

Il peut se faire aussi qu'un système S ne soit ni an système normal, ni le prolongement d'un système normal. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que, si Von forme la suite des systèmes S', S", S'", . . . , dérivés de S, le nombre des équations diminue au plus d'une unité quand on passe d'un système au suivant. Nous dirons pour abréger que tout système S, qui possède cette propriété, est un système spécial.

Deux cas peuvent encore se présenter. Il peut se faire que, quand on passe d'un système au suivant, le nombre des équations diminue toujours d'une unité jusqu'au système SI'*). Alors S' se